Автоматика и телемеханика, № 6, 2015
© 2015 г. Р.Э. СЕЙФУЛЛАЕВ (ruslan.seifullaev@yandex.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет),
А.Л. ФРАДКОВ, д-р техн. наук (fradkov@mail.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Университет ИТМО, Санкт-Петербург)
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ1
Метод анализа гибридных систем на основе перехода к системе с пилообразным запаздыванием и использования нестационарных функционалов Ляпунова-Красовского и дескрипторных переменных, развитый Э.М. Фридман для линейных систем, перенесен на нелинейные многосвязные системы Лурье. Рассмотрено дискретное управление в виде обратной связи с ограниченным сверху переменным шагом дискретизации. При этом в уравнениях системы функция управления умножена на скалярную ограниченную нелинейную функцию. Такой случай соответствует многим осцилляторам, в частности, системе «Маятник на тележке». На основе классических результатов В.А. Якубовича о неущербности Б-про-цедуры задача оценки верхней границы шага дискретизации сводится к анализу разрешимости системы линейных матричных неравенств.
1. Введение
Современные системы управления все чаще реализуются на компьютерах и, следовательно, являются цифровыми. При расчете и реализации таких систем возникает важная задача выбора шага (интервала) дискретизации, обеспечивающего устойчивость и приемлемое качество системы. Даже для линейных систем эта задача не является тривиальной, если требуется не просто доказать, что при достаточно малом шаге дискретности система сохраняет свойства непрерывной, а найти достаточно хорошие, «неконсервативные» оценки предельно допустимой величины шага дискретизации. Для нелинейных непрерывно-дискретных (гибридных) систем эта задача, несмотря на ее важность, изучена недостаточно.
В последние годы в мировой литературе вырос интерес к новому подходу, основанному на преобразовании дискретно-непрерывного описания системы к виду систем с переменным (пилообразным) запаздыванием. Сама идея не нова: впервые, по-видимому, она рассматривалась в [1,2], а метод функционалов Ляпунова-Красовского широко применяется для анализа систем с запаздыванием (например, см. [3, 4]). Однако с предложенным Э.М. Фридман обоб-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-08-01015). Методика оценки шага дискретности путем проверки разрешимости соответствующих линейных матричных неравенств (раздел 5) разработана в ИПМаш РАН при поддержке Российского научного фонда, грант 14-29-00142.
щенным функционалом Ляпунова-Красовского [5] в сочетании с дескриптор-ным методом исследования систем с запаздыванием [6] идея приобрела эффективную расчетную составляющую, основанную на линейных матричных неравенствах (LMI) и превратилась в мощный метод расчета, позволяющий существенно снизить консервативность оценок [5, 7]. Таким образом, можно говорить о фридмановских оценках шага дискретизации систем. Однако до сих пор метод Фридман применялся только к линейным системам.
В настоящей статье рассматривается класс нелинейных систем с произвольным количеством «секторных» нелинейностей. Система замкнута квантованной по времени обратной связью. Задача состоит в оценивании верхней границы шага дискретизации, ниже которой система абсолютно устойчива. Вместо традиционного сведения к объекту с дискретным временем использован альтернативный прием: эффект квантования моделируется как запаздывание с последующим построением и применением функционала Ляпунова-Красовского [5]. На основании метода S-процедуры [8] задача оценивания границы шага дискретизации сводится к анализу разрешимости системы линейных матричных неравенств.
2. Постановка задачи
Рассмотрим нелинейную систему:
N
x(t) = Ax(t) + ЦгШ + (B + БоШ) u(t),
(1) i=1
ao(t) = rTx(t), &(t) = (о(ао (t), t),
al(t) = rTx(t), &(t) = PiMt),t), i = 1,... ,N,
где x(t) € Rn - вектор состояний, u(t) € Rm - управление, A € Rnxn, Б € € Rnxm, Б0 € Rnxm - постоянные матрицы, q, € Rn, r € Rn, r0 € Rn -постоянные векторы, T - знак транспонирования матрицы.
Предположим, что для всех t ^ 0 график каждой функции = (pi(ai,t) (где t рассматривается как параметр, а а - как аргумент функции) расположен в двуполостном секторе между прямыми & = а, и & = аi (см. рисунок), где < ц2i - некоторые вещественные числа. Таким образом, выполняется неравенство
(2) ци а2 ^ ai & ^ а2, i = 1,...,N.
Предположим, что нелинейная функция &0(t) = (0(а0(t),t) ограничена для всех t ^ 0
< &0(t) <
Пусть задана последовательность моментов времени 0 = to < ti < ... < tk < ... и кусочно-постоянная функция управления
u(t) = Ud(tfc), tfc ^ t < tfc+i,
где tk = то.
Секторная нелинейность.
Предположим, что для некоторого Н Е К (Н > 0) выполнены неравенства:
— ^ Н Ук ^ 0, и рассмотрим закон управления в виде обратной связи
(3) и(£) = Кж(£к), Ч < * < £к+1, где К Е Ктхп. Закон (3) перепишем в виде:
(4) и(£) = Кж(£ — т (*)),
где т (г) = г — гк, гк < * < ¿^+1.
Цель статьи — исследование влияния величины верхней границы шага дискретизации Н на устойчивость замкнутой системы:
N
х(г) = Ах(г) + (в + Во (¿)) Кх(г — т (¿)) + ^ ® & (¿),
¿=1
(5)
ао(г) = гТх(г), &о(г) = ^о(ао(г), г),
а (г) = гТ х(г), & (г) = ^ (а (г), г), г = 1,..., N
т(г) = г — гк, г е [г^).
3. Предварительные сведения
Пространство абсолютно непрерывных на [—Н, 0) функций f : [—Н, 0] ^ ^ с интегрируемым квадратом первой производной обозначим через Ш. Введем в Ш норму:
™ = лта?т ^(0)| +
ве[-н, о]
о
/ |/(^
-Н
Функцию ж(£) на интервале [—Л, 0) доопределим не умаляя общности нулем, т.е. ж(£) = 0 при £ € [—Л, 0). Функции Жг(0) : [—Л, 0] ^ К"" обозначим через
ж4(0) = + 0).
Определение 1. Систему (5) будем называть экспоненциально устойчивой в целом с показателем затухания а, если существует в > 0 такое, что для решения ж(£) системы (5) с начальным условием выполнено неравенство
|х(£)|2 < вв-2а(4-40) ||ж*о||ж V* ^ ¿с-
Доказательство основного результата основано на предварительной лемме 1, доказательство которой приведено в [5].
Лемм а 1. Пусть существуют положительные числа във2 и функционал V : К, х Ш х £2[-Л, 0] ^ К, такой, что
(6)
в1 |ф(0)|2 < V(¿, Ф, фф) < в2 ||ф||^ Vф € Ш.
Пусть ж(£) удовлетворяет (5) и функция = V(¿, ¿) непрерывна справа по ¿, абсолютно непрерывна для всех £ = и удовлетворяет условию
(7)
11ш ^ ).
Если для заданного а > 0 неравенство
(8) + 2аУ(£) < 0
выполнено для почти всех ¿, то система (5) экспоненциально устойчива в целом с показателем затухания а.
4. Основные результаты
Введем обозначения:
В(£) = В + £с£с(£), В- = В + Д,^-, В+ = В + Пусть Р, ^ - симметричные положительно определенные матрицы размера
п х п, Р2, Р3 - некоторые матрицы размера п х п и {хс {к+г}г=
I N
{к- - положительные вещественные числа.
+ ^ <1 г
Рассмотрим следующие матрицы:
гс ¿/¿=1'
Ф
ЙО
ф
12
^ 22|т (4)=С *
* *
ф
ф
- (1) Й2 (1) ^ 23 - (1) Й3
ф
- (М) Й2
ф
(М) ^ 23
0
ф
- (М) Й3
*
0
Ф+о
Ф+1
Ф+12
Ф
Ф
^ 22|т (4)=о *
* *
+ (1)
52
(1)
23 Ф+(1)
Ф53
Ф
+ (N)
52
Ф(N)
23
0
Ф
)
53
Ф
51
Ф+1
Ф
54
Ф
^ 12
Ф+4
Ф+12
Ф
Ф
- (1) 55
Ф^22|т(4)=Н Ф^3
Ф
- (1) 56
^ 22|т (4)=Н *
* * *
0 0
Ф+(1)
Ф55 Ф(1) 23 + (1)
Ф
56
0 0
Ф
- ^)
55 s(N)
Ф
Ф
Ф
—НР2ТВ-К
Ф-3 —НР3ТВ-К
- (N) 56
-2аН
+ (N) 55 s(N)
—Н^е
—нртв+к
Ф^ 23 — НРТВ+К
+ (N) 56
—Н^е
-2аН
*
*
0
0
0
*
0
0
0
0
*
0
0
где " *" обозначает симметричный блок симметричной матрицы, а
Ф^ п(г) = р2т(а + в(г)к) + (А + в(г)к )ТР2 + 2аР, Ф^ 12 (г) = р — рт + (А + в(г)к )ТР3,
Ф
(¿) ^ 13
ч(0
РгЧ, Ф^23 = Р3Ч, г = 1,
Ф^ 22 (г) = —Р3 — Р3Т + (Н — т (г))д,
^ 11
^ 12
Ф^п(г)|в(4)=в-, Ф+11 = Ф^и(г)1в(*)=в+,
12(г) |В(4)=В- > Ф+12 = 12(г) |В(4)=В+ >
N
N
Ф
Ф
Ф
51
- (¿) 52
+ (*) 52
Ф-11 — К г^1г^2гГгГгТ, Ф+1 = Ф+И — ^ к+^1^2гггг'
Т гг >
¿=1
¿=1
+ ^о Ми + №г)Гг, Ф 8з%) = V Р2Ш + г^П + Ф+(г) = -К+„
N
Ф-4 = Ф-11 - Е
N
к-, Ф+4 = Ф+11 — ^ К+г^1г№ггггТ,
¿=1
ф
ф
- (¿) Й5
+ (г)
Й5
Р-2 Яг + 2^1 ¿(М1. +
2
¿=1
ф
- (¿) Й6
— к
1 ¿,
Ф+(г) = К+ фй6 = —К1 г-
Теорема 1. Пусть для заданного а> 0 существуют матрицы Р €
€ Епхп (р > 0), д € Кгахга (д > 0), Р2 € Кгахга, Р3 € Кгахга, а также поло-
I - 1N ( + ^ г - ^ г + ^ жительные вещественные числа [кс ^¿=1, (кс ^¿=1, (к1 ^¿=1 и \к{ ^¿=1
такие, что система линейных матричных неравенств
Фйс- < 0, ФЙС+ < 0, ФЙ1- < 0, ФЙ1+ < 0
разрешима. Тогда система (5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания а.
Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.
Далее рассмотрим более сложный случай, позволяющий добиться более точных результатов за счет использования "расширенного" функционала (см. приложение), предложенного Э.М. Фридман [5].
Пусть X € Кгахга, Х1 € К"
У1 € К"
Г2 € К"х", Г3(г) € К'
= 1,...,Х) и Т € К"
некоторые матрицы.
Рассмотрим следующие матрицы:
(< =
Ф
яс
ФЯс
в =
р+к^р-
ф-
ф+
ЛХ1 — ЛХ
-ЬХг - /гХТ +
Я1|т (4)=С *
* * * *
Я1|т (4)=С *
* * * *
ф
12|т (4)=С
ф22|т (4)=С *
* *
ф12|т (4)=С
ф22|т (4)=С *
ф-
ф
ф+ ф+
2
- (1)
13|т (4)=С фя 2
23|т (4)=С
ф33|т (4)=С *
ф
(1)
ф ф
24 (1) 34 - (1) я3
0
13|т (4)=С
23|т (4)=С
ф33|т (4)=С *
* *
ф ф ф ф
+ (1) я2 (1) 24 (1) 34 + (1) я3
ф
- ^)
я2
(N)
24
^)
34
ф
ф
- (N)
я3
+ ^)
ф
ф
я2
(N) 24 (N)
ф
34 0
+ ^) я3
*
0
*
*
0
ф
H1
фH 1
Ф^|т (í)=h * Ф12|т (í): Ф22|т (í): =h =h Ф13|т (í) Ф23|т (í)= =h =h Ф-(1) ФH5 Ф(1) Ф24
* * Ф33|т (í) = =h Ф(1) Ф34
* * * Ф-(1) ФH6
* * *
* * * О
* * * *
Ф+ ФH4|т (í)=h * )í )í i! i! 2| 2| Ф1 Ф2 =h =h Ф13|т (í)= Ф+ Ф23|т (í) = =h =h Ф+(1) ФH5 Ф(1) Ф24
* * Ф33|т (í) =h Ф(1) Ф34
* * * Ф+(1) ФH6
* * *
* * * О
* * * *
Ф
2 (N)
H5
Ф
Ф
(N) 24
(N) 34
О
hFT
hFT
hTT
hqTn(1)
T
Ф-(N ) hqT Y (N )
T
H6 *
Ф
+ (N ) H5
(N)
24
(N) 34
О
H6
*
N F3
-hQe-2ah hF1T hF2T hTT
hqTF3(1)T
Ф+(N) hqT F(N)
T
N F3
-hQe-2ah
где
Фll(t) = AtP2 + P2tA + 2aP - Fl - FT - (l - 2a(h -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.