Автоматика и телемеханика, № 2, 2015
© 2015 г. Л.А. МИРОНОВСКИЙ, д-р техн. наук (miron@aanet.ru),
Т.Н. СОЛОВЬЕВА (famsol@yandex.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения)
АНАЛИЗ КРАТНОСТИ ГАНКЕЛЕВЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ1
Рассматриваются важные вход-выходные инварианты линейных управляемых систем - ганкелевы сингулярные числа. Исследуется задача определения количества различных среди них. Показывается, что для 8180-случая решение этой задачи может быть сведено к анализу управляемости некоторой вспомогательной системы. Для М1М0-систем разработан способ формирования полинома минимального порядка, корни которого равны квадратам ганкелевых сингулярных чисел. Доказано, что в случае максимальной кратности ганкелевых сингулярных чисел грамианы управляемости и наблюдаемости системы взаимно обратны с точностью до числового множителя.
1. Введение
К важным инвариантам линейных динамических систем относятся ганкелевы сингулярные числа. Выделяют классы систем, у которых эти числа связаны определенными соотношениями между собой или с другими инвариантами, например классы моносингулярных, бисингулярных, регулярных и модально-сбалансированных систем [1—4]. Особый интерес представляют системы с кратными ганкелевыми сингулярными числами [5-6]. В связи с этим возникает задача определения индекса сингулярности, равного количеству различных ганкелевых сингулярных чисел для данной системы.
Прямой способ решения этой задачи состоит в поиске собственных значений произведения грамианов управляемости и наблюдаемости системы и в подсчете значений различных среди них. Однако такой подход требует достаточно сложных вычислений, а если описание системы содержит символьные переменные, то, как правило, оказывается невозможным. Поэтому для анализа кратности ганкелевых сингулярных чисел желательна разработка алгебраических критериев, не требующих нахождения корней уравнений. В статье предлагаются такие критерии для выявления факта наличия кратных ган-келевых сингулярных чисел и для определения количества различающихся среди них. Показана возможность применения полученных результатов при построении систем с заданным индексом сингулярности.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-08-00399).
2. Основные определения и соотношения
Пусть линейная динамическая система 5 задана описанием в пространстве состояний:
(1) х = Ах + Ви, у = Сх,
где х € И"" - вектор переменных состояния; и € И™, у € И1 - входной и выходной сигналы; А, В, С - постоянные матрицы соответствующих размеров, матрица А является устойчивой. Далее будем использовать краткое обозначение 5 = (А, В, С).
Грамианами управляемости и наблюдаемости системы (1) называются симметричные квадратные матрицы
= Г еАТ*СТСеА^. Они удовлетворяют матричным уравнениям Ляпунова
(2) AWC + WCAT + ВВт = 0,
(3) ЛтШа + ШоА + С тС = 0.
Ганкелевыми сингулярными числами (Т\,...,(ТП1 а^ ^ 0, г = 1 ,п, системы (1) называются арифметические квадратные корни из собственных чисел матрицы ШсШо.
В случае систем с одним входом и одним выходом (ЯШО-систем) ганкеле-вы сингулярные числа могут быть введены с помощью кросс-грамиана Ш = = Г еА*ВСеА^. Он удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра
(4) ША + АШ + ВС = 0.
Собственные числа кросс-грамиана устойчивой системы всегда вещественны, а их квадраты совпадают с квадратами ганкелевых сингулярных чисел системы. Все три грамиана связаны равенством Ш2 = ШсШо.
При замене переменных состояния х ^ Тх с невырожденной матрицей Т грамианы управляемости и наблюдаемости изменяются по формулам конгруэнтного преобразования: Т-1ШсТ-т, Т-ТШоТ а кросс-грамиан подвергается преобразованию подобия Т-1ШТ, поэтому ганкелевы сингулярные числа не зависят от выбора базиса в пространстве состояний. Матрицу Т можно выбрать таким образом, чтобы все три грамиана стали диагональными. Такая реализация системы (1) называется сбалансированной, при этом диагональные элементы кросс-грамиана по модулю равны ганкелевым сингулярным числам.
Ганкелевы сингулярные числа тесно связаны с другими характеристиками системы [7-11]. В частности, наличие нулевого ганкелева сингулярного числа является признаком неминимальности реализации системы, т.е. ее неуправляемости или ненаблюдаемости. Площадь диаграммы Найквиста системы с точностью до постоянного множителя равна сумме квадратов ганкелевых сингулярных чисел. Ганкелева норма передаточной функции системы равна ее максимальному ганкелеву сингулярному числу [12, 13].
В общем случае система (1) может иметь кратные ганкелевы сингулярные числа. Будем называть количество к различных ганкелевых сингулярных чисел линейной динамической системы индексом ее сингулярности. Индекс сингулярности системы п-го порядка может принимать целочисленные значения из интервала 1 ^ к ^ п. Систему с индексом сингулярности к = 1 будем называть моносингулярной, с индексом к = 2 - бисингулярной, с индексом к = 3 - трисингулярной и т.д.
От индекса сингулярности зависят многие характеристики системы, в частности вид сбалансированной канонической формы, число слагаемых в фазовом разложении Гловера и свойства ганкелевых сингулярных функций [1, 2, 11, 13]. Как известно, в классической теории канонических форм и инвариантных подпространств матриц важную роль играет кратность собственных и сингулярных чисел. Аналогичную роль в теории линейных динамических систем играет кратность ганкелевых сингулярных чисел.
Наиболее очевидный способ определения индекса сингулярности состоит в прямом вычислении ганкелевых сингулярных чисел путем решения алгебраической проблемы собственных значений. Однако такой подход для высоких порядков может оказаться сложной задачей, а в случае символьного описания системы - неразрешимой.
В статье предлагаются алгебраические способы определения индекса сингулярности, не требующие вычисления значений ганкелевых сингулярных чисел. Сначала рассмотрим случай максимальной кратности ганкелевых сингулярных чисел ЯШО-систем.
Начнем анализ кратности ганкелевых сингулярных чисел со случая систем, у которых индекс сингулярности равен единице, т.е. с моносингулярных систем. У таких систем все ганкелевы сингулярные числа равны между собой.
Наиболее известным примером моносингулярных систем являются фазовые (другие названия: фазовращательные, фазосдвигающие, all-pass, lossless) звенья [14, 15]. Для моносингулярных систем задача построения сбалансированного представления, т.е. реализации, у которой грамианы управляемости и наблюдаемости равны и диагональны, имеет не единственное решение. Для SISO-систем наиболее простой является реализация, в которой матрица A имеет трехдиагональную форму Шварца - Рауса [5, 16], а векторы B и C пропорциональны единичному орту:
3. Критерии моносингулярности
2
—а0 a1 —a1 0 a2
—a2 0 a3
0
(5) A
B
C = ± BT.
0
0 a„_i an-i 0
0
Здесь од - положительные коэффициенты, г = 0, п — 1.
Все три грамиана реализации (5) диагональны:
(6) Wc = Wo = ст/, W = ±CTdiag(1 - 1 1 - 1 ...).
Кросс-грамиан реализации (5) представляет собой диагональную матрицу с чередующимися диагональными элементами вида 1 и (-1). Общий знак кросс-грамиана зависит от конкретной системы. Существование и единственность такого сбалансированного представления для моносингулярных систем были установлены Обером в [1, 15, 17, 18]. Таким образом, система S = = (A, B,C) с матрицами (5) является сбалансированной канонической формой моносингулярных систем.
Из соотношений (5) и (6) видно, что векторы B и C являются левым и правым собственными векторами кросс-грамиана W. Следовательно, имеют место ранговые равенства:
(7) rank [B WB] = 1, rank
C CW
= 1.
Равенства (7) справедливы в любом базисе, поскольку при замене переменных состояния x ^ Tx с невырожденной матрицей T векторы B и WB изменяются по одинаковым формулам: T-1B, T-1WB. То же самое касается пары векторов-строк C и CW, изменяющихся по формулам CT и CWT.
Таким образом, векторы B и C моносингулярной системы в любом базисе являются соответственно левым и правым собственными векторами кросс-грамиана. Справедливо и обратное утверждение, а именно: если в некотором базисе выполняется хотя бы одно из условий (7), то система будет моносингулярной. Тем самым сформулирован простой алгебраический критерий моносингулярности. Более общий результат содержится в теореме 1.
Теорем а 1 (необходимое и достаточное условие моносингулярности). Пусть S = (A, B,C) - устойчивая система (1), W - ее кросс-грамиан, Wo и Wc - грамианы управляемости и наблюдаемости.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
i. система S - моносингулярна;
ii. rank [ B WB ] = 1; C
CW
CT Wo B ] =1;
v. rank [ B Wc CT ] =1;
vi. квадрат кросс-грамиана пропорционален единичной матрице W2 = = ст2/, т.е. матрица W/ст инволютивна, а грамианы управляемости и наблюдаемости взаимно обратны (с точностью до константы ст2): Wo = = CT2Wc-1, WcWo = WoWc = ст2/.
Пункты ii и iii теоремы 1 доказаны выше.
Для обоснования пп. iv и v достаточно заметить, что в сбалансированной канонической форме Обера векторы CT и WoB, а также векторы B и
iii. rank
iv. rank
= 1;
Ш0Ст пропорциональны и при замене переменных изменяются одинаковым образом.
Справедливость п. у1 следует из пропорциональности квадрата кросс-грамиана моносингулярной системы в сбалансированной канонической форме Обера (5) единичной матрице.
Каждый из пунктов теоремы 1 можно использовать как критерий для проверки принадлежности заданной системы к классу моносингулярных. Проиллюстрируем это на следующем примере.
Пример 1. Моносингулярная система 4-го порядка.
Рассмотрим систему четвертого порядка, заданную матрицами:
(8) А =
0 1 0 0 0
0 0 1 0 , В = 0
0 0 0 1 0
—а0 —а1 —а2 —а3 1
С = [ 0 -2а 1 0 -2аз ].
Требуется выяснить, является ли она моносингулярной.
Решая уравнение Сильвестра (4), находим кросс-грамиан системы: Ш = = diag ( 1 — 1 1 — 1 ). Квадрат кросс-грамиана равен единичной матрице, поэтому согласно п. vi теоремы 1 система моносингулярна.
Проверим моносингулярность си
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.