Автоматика и телемеханика, № 10, 2014
А втоматизированные информационно-управляющие системы, системы управления производством
© 2014 г. Б.Х. КИРШТЕЙН, канд.физ.-мат.наук (bkirch.2@gmail.com) (НПО Дельфин—Информатика, Москва), Г.Л. ЛИТВИНОВ, канд.физ.-мат.наук (glitvinov@gmail.com) (Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Москва)
АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТРОПИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ БАЛАНСОВ МОЩНОСТИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ МУЛЬТИПОЛЯМИ1
Излагается новый подход к оценке области существования режима электроэнергосистемы. Этот подход основан на так называемой комплексной тропической геометрии. В области существования режима указаны подобласти, нахождение внутри которых легко контролировать, и пересечение границы которых предшествует потере режима энергосистемы. На основе этого пользователю может быть предоставлена простая и наглядная информация, характеризующая запас устойчивости энергосистемы, при этом программная реализация разработанного подхода требует существенно меньше трудозатрат и вычислительных затрат, чем реализация других известных методов.
1. Введение
Принцип соответствия [1, 2] утверждает, что имеется эвристическое соответствие между важными, полезными и интересными конструкциями и результатами над вещественными и комплексными полями и результатами тропической математики, т.е. математики над полуполями с идемпотентным сложением (краткое введение в предмет можно найти, например, в [3]). В ряде работ рассматривались примеры такого соответствия применительно к различным областям исследования. Например, в [2] принцип соответствия применяется к решению задач теплопроводности, динамического программирования и теории алгоритмов, в [4] - к решению задач анализа динамики биохимических сетей, в [5] - к решению задач стохастической оптимизации, в [6] - к изучению вещественных алгебраических многообразий, в [7] - к решению перечислительных задач алгебраической геометрии, в [8, 9] - к задачам термодинамики. Другие примеры принципа соответствия рассмотрены в [3].
1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 11-01-93106-НЦНИЛ_а и № 12-01-00886_а).
В настоящей работе такое соответствие применяется для задач анализа устойчивости установившихся режимов электроэнергетических сетей (ЭЭС).
Прежде чем сформулировать полученные результаты, рассмотрим модельный пример линейных электрических цепей постоянного тока. Воспользуемся связью между формулами Кирхгофа, выражающими токи в ветвях цепи через производящие функции остовных деревьев ее графа и низкотемпературным пределом статистической суммы термодинамической модели Поттса [10]. Согласно [8] этому низкотемпературному пределу соответствует термодинамика над тропическим полуполем. В [9] рассмотрен "многомерный" вариант такой термодинамической модели для которой низкотемпературный предел сводится к тропическому пределу около вершины некоторого выпуклого многогранника (многогранника моментов). Для задачи расчета токов в линейных резисторных цепях соответствующий многогранник строится следующим образом.
Напомним, что остовное дерево связного графа - связный подграф без циклов, который содержит все вершины данного графа. Количество ветвей любого остовного дерева для графа с n узлами равно n — 1. Обозначим через r(e) сопротивление ветви e, через R(e) - эффективное сопротивление этой ветви (абсолютное значение разности потенциалов в узлах ветви e, к концам которой подсоединен источник тока в один ампер). Имеет место тождество Фостера [11]
R(e)
Е
r(e)
= n — 1,
где сумма берется по всем ветвям графа. Отношения К(е)/т(е) называются коэффициентами Фостера. Для коэффициентов Фостера выполнены неравенства
К(е) т(е)
Этим неравенствам и тождеству Фостера удовлетворяют характеристические функции остовных деревьев (функции на ветвях графа, равные единицам на ветвях остовного дерева и нулям на остальных ветвях).
Обозначим через А выпуклую оболочку характеристических функций всех остоовных деревьев. Далее будет показано, что над тропическим полуполем вектору коэффициентов Фостера соответствует вершина многогранника А, отвечающая остовному дереву максимального веса.
Предложение 1. Над тропическим полуполем графу линейной электрической цепи постоянного тока, состоящей из п узлов и т ветвей, соответствует безконтурный граф с п узлами и п — 1 ветвями.
В [12] использовались методы вещественной тропической математики для расчета режимов ЭЭС. Уравнения установившихся режимов представляют систему нелинейных уравнений относительно комплексных значений напряжений в узлах и комплексно-сопряженных к ним величин. Тропические числа получаются из комплексных с помощью отображения переводящего комплексные числа в логарифмы их абсолютных значений. Такой переход к тропическому полуполю "забывает" фазы комплексных чисел - каждой паре
комплексно-сопряженных чисел отвечает одно число в тропическом полуполе. Из-за важной роли, которую играют фазы комплексных чисел в описании режимов ЭЭС, кроме тропического полуполя, в таких задачах хорошо бы иметь иметь возможность использовать какое-нибудь его расширение, в котором имеется аналог комплексной структуры. Соответствующая теория - теория тропических комплексных мультиполей2 СУ были разработаны О.Я. Виро [13]. Прежде чем сформулировать основной результат статьи, напомним, что лес в графе - это подграф без циклов (не обязательно связный и не обязательно содержащий все вершины исходного графа). Имеет место (принцип соответствия для ЭЭС) следующая теорема.
Теорема 1. В установившемся 'режиме графу ЭЭС над комплексным тропическим мультиполем СУ соответствует набор лесов графа сети.
Одна из важных задач анализа режимов ЭЭС, для которой в настоящей работе ставится в соответствие тропический прототип, состоит в следующем.
При анализе установившихся режимов электроэнергетических систем (ЭЭС) нужно уметь оценивать положение текущего вектора параметров ЭЭС относительно границы области существования режима. Граница области существования режима ЭЭС определяется с помощью процедуры утяжеления (увеличения инъекций мощностей в узлах) вдоль выбранного направления утяжеления до нахождения значений мощностей предельных по условиям существования режима. Предельные режимы рассчитываются с помощью численных методов нелинейной оптимизации [14-16], а при выборе направления утяжеления используются в том числе эмпирические соображения, основанные на анализе топологии графа сети.
Изменение структуры множества лесов, отвечающих решениям над комплексным тропическим мультиполем может служить признаком близости режима к предельному. Такое изменение предшествовует появлению реального предельного режима для электроэнергетической сети. Полученная таким образом информация может быть использована при анализе "слабых сечений" в ЭЭС и при оценке надежности работы энергосистем.
Материал статьи организован следующим образом. В разделе 2 рассматриваются системы уравнений баланса мощностей ЭЭС над тропическим комплексным мультиполем и формулируются основные свойства их решений. В разделе 3 иллюстрируются полученные результаты на примере расчета режимов четырехузловой ЭЭС. В Приложении дается краткий обзор необходимых понятий тропической и комплексной тропической геометрии и даны доказательства сформулированных в статье утверждений.
2. Системы уравнений баланса мощности ЭЭС над комплексным тропическим мультиполем
При анализе статических режимов ЭЭС используются системы уравнений балансов узловых мощностей. В частности, уравнения балансов РУ-типа (балансы активных мощностей в узлах при заданных значениях модулей узло-
2 Мультиполе - это поле с многозначным сложением, точное определение комплексного тропического мультиполя СУ дано в Приложении, см. определение 2.
вых напряжений) имеют вид:
(1)
Е
и*
цг - и к
2гк
+ и
у* 2гк
р
(2)
и • и* = V2,
где Р, - активная составляющая мощности в г-ом узле, и, = У • е-6*, и* = = V • е-76* и ик = Ук • , и* = Ук • е-7^к - соответственно комплексная и комплексно-сопряженная величины напряжения в г-м и к-м узлах, V, 5, и Ук1 ~ модули и фазы напряжения в этих узлах. Здесь и далее используется обозначение ;) для мнимой единицы \/—1- Суммирование в (1) идет по всем узлам к, соединенным ветвями с узлом г. Элементы Zik матрицы 2 комплексных сопротивлений сети имеют вид
2к = Хк • е7^,
где Хгк и вгк - модуль и угол комплексного сопротивления ветви, связывающей г-й и к-й узлы.
Предполагается, что в сети, состоящей из п узлов, один из узлов - балансирующий (ниже в качестве такого узла выбран п-й узел), напряжение ип в нем задано и вещественно (ип = Уп=Уь, $п = 0).
Система уравнений узловых балансов РУ-типа состоит из уравнений (1) и (2) для всех узлов г, пробегающих значений
г = 1,..., п — 1,
и решается относительно неизвестных значений фаз
Будем предполагать, что рассматриваемая энергосистема находится в установившемся режиме. Тем самым параметры сети находятся в общем положении, т.е. небольшие изменения этих параметров не оказывают влияния на поведение ЭЭС.
Перепишем уравнения (1) в виде
(3)
2 ^
к
Цг'Щ + Щ ■ II 2к
*
2гк
=
где в правой части стоят значения мощности
(4)
=
У
2
Е
(— + —
V 2гк
гк
-Р.
Введем переменные
(5)
Ш, = и* (г = 1,..., п — 1)
и
(6)
и,к = и, • Шк (г = 1,...,п — 1; к = 1,...,п — 1).
и
2
Рассмотрим систему уравнений (2) и (3) относительно этих переменных: (7) U ■ Wt = V2 (i = 1,... - 1),
Система уравнений (6)—(8) - полиномальная система, в которой число переменных и число уравнений совпадают. Заменим уравнения (5), которые задают условия физической реализуемости решений, системой уравнений
(9) |U| = |Wi| (i = 1,...,n - 1).
Полученная система уравнений (6)-(9) эквивалентна системе (1)-(2). Рассмотрим систему уравнений (6)-(9) над комплексным тропическим мультиполем CV. Уравнения (6)-(7) задают систему двучленных уравнений, решения которых над CV легко определить (сравним с [13, п. 5.4]):
(10) Ui = Vi ■ ejSi, Wi = Vi ■ e~j&i (i = 1,...,n - 1),
(11) Uik = Vi ■ Vfc ■ ej(Si-Sk ) (i = 1,... ,n - 1; k = 1,...,n -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.