Автоматика и телемеханика, № 2, 2015
Линейные системы
© 2015 г. А.Д. МИЖИДОН, д-р техн. наук (miarsdu@mail.ru), К.А. МИЖИДОН (mizhidon@gmail.com)
(Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,
Улан-Удэ)
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К НАХОЖДЕНИЮ УПРАВЛЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ВЫПОЛНЕНИЕ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ1
Рассматривается задача управления линейной динамической системой, где основной целью управления является удержание системы в фазовых ограничениях при заданном детерминированном возмущении. Для ее решения рассматривается вспомогательная задача оптимального управления с квадратичным критерием качества, матрицы которого зависят от некоторых весовых коэффициентов и их выбор в конечном итоге обеспечивает при оптимальном управлении выполнение фазовых ограничений. Предложен подход к построению алгоритмического обеспечения решения задачи, основанный на представлении фундаментальной матрицы системы в виде матричной экспоненты, разложенной в матричный ряд.
1. Введение
В процессе проектирования динамических систем необходимо удовлетворить всем ограничениям, отражающим различные технические требования к проектируемому объекту. На стадии проектирования, предшествующей конструкторским разработкам, наиболее важными, можно полагать, являются ограничения, накладываемые на динамические характеристики объекта. Это связано с тем, что нормальное функционирование различных систем допустимо в техническом плане только тогда, когда протекает в рамках каких-либо фазовых ограничений. Учет этих ограничений приводит к рассмотрению задач управления с фазовыми и другими ограничениями.
Например, рассмотрим механическую систему, представляющую собой твердое тело (объект защиты), соединенное с жестким недеформируемым основанием с помощью некоторого амортизационного устройства [1]. Предполагаем, что колебания амортизируемого тела малы, а начало неподвижной системы координат в положении статического равновесия совпадает с центром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат рассмотрим главные центральные оси инерции объекта защиты. Считаем, что неподвижные оси координат совпадают в положении равновесия с подвижными осями координат. Для описания движения системы введем д - шестимерный вектор обобщенных координат, характеризующий относительные смещения тела и
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-08-00309-а).
а(Ь) - шестимерный вектор (вектор обобщенных ускорений координат, описывающий движение основания). Пусть источником кинематических возмущений является заданное пространственное колебание основания.
Наиболее распространенное требование к качеству системы виброзащиты - это ограничение абсолютных ускорений в некоторых заданных точках амортизируемого тела. Эти ограничения могут быть записаны в виде [2]
(1) п'Шгп < 1 (г = 1,...,р),
где Шг - заданные постоянные положительно определенные (6 х 6)-матрицы; и - шестимерный вектор, определяемый соотношением
и = а + а.
Известно, что, выбрав достаточно мягкую систему амортизации, можно обеспечить выполнение любых самых жестких ограничений вида (1). Однако в этом случае внешние возмущения будут вызывать большие относительные смещения, и чтобы не происходили столкновения объекта с основанием, последние должны быть расположены на достаточном удалении от защищаемого тела. Другими словами, при этом виброзащитная система (ВЗС) приобретает большие габаритные размеры и поэтому может оказаться практически не реализуемой. В связи с этим обычно при проектировании ВЗС предъявляются требования, ограничивающие габаритные размеры создаваемой ВЗС. Предположим, что ограничения габаритных размеров системы амортизации равносильны ограничениям, накладываемым на относительные смещения заданных точек тела в заданных направлениях. Эти ограничения могут быть представлены следующим образом [2]:
(2) -1 < б[д < 1 (г = 1,...,в).
Здесь б - заданные шестимерные векторы.
В общем случае под задачей проектирования ВЗС будем понимать задачу выбора структуры и параметров амортизационного устройства, обеспечивающих выполнение требований (1)-(2), предъявляемых к проектируемой ВЗС. Эти требования являются противоречивыми. В [3] рассмотрена задача оценки предельных возможностей ВЗС, решение которой позволяет сделать вывод о возможности существования технически реализуемой ВЗС, удовлетворяющей всем этим требованиям. В условиях, когда заданы количественные характеристики этих требований, при решении вопроса о выборе структуры ВЗС вначале, до рассмотрения вопроса о физической реализуемости, представляет интерес задача построения эталонного закона функционирования ВЗС, т.е. такого закона движения объекта защиты, который удовлетворяет этим требованиям. В связи с этим можем рассмотреть задачу нахождения управления, удовлетворяющего ограничениям (1) и на траекториях системы
а = и - а,
обеспечивающей выполнение фазовых ограничений (2).
В данной статье рассматривается подход к построению алгоритмического обеспечения решения задачи управления линейной динамической системой, в которой основной целью управления является удержание системы в фазовых ограничениях при заданном детерминированном возмущении.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную управляемую систему с постоянными коэффициентами
(3) ж = Аж(£) + Ви(£) + / (£), ж(0) = ж0,
где ж - п-мерный вектор фазовых координат системы; и - г-мерный вектор управления; А - постоянная (п х п)-матрица; В - постоянная (п х г)-матрица; /(£) - п-мерный вектор внешних возмущений. Вектор-функция /(£) является ограниченной при £ ^ 0.
Система управляется на временном отрезке [0,Т]. При этом допустимыми управлениями являются непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие неравенствам
(4) и'(г)Яли(*) < 1 0 = 1,...,р), £ € [0,Т].
Здесь - положительно-определенные (г х г)-матрицы.
Нормальное функционирование системы предполагает выполнение в каждый момент времени £ € [0, Т] фазовых ограничений
(5) ж'(£)(гж(£) < 1 (г = 1,...,в),
где ( - неотрицательно-определенные (п х п)-матрицы.
Требуется при заданном возмущении / (£) найти допустимое управление и*(£), при котором на траекториях системы (3) выполняются в каждый момент времени £ € [0,Т] фазовые ограничения (5).
Для решения этой задачи рассматривается вспомогательная задача оптимального управления с квадратичным критерием качества. При этом матрицы квадратичного функционала зависят от некоторых весовых коэффициентов, выбор которых должен обеспечить при оптимальном управлении выполнение фазовых ограничений (5).
3. Вспомогательная задача оптимального управления
Рассмотрим задачу оптимального управления:
(6)
' ж = Аж(£) + Ви(£) + /(£), ж(0) = ж0, ж(£), /(£) € и(£) € Ег, £ € [0, Т], т
<Пи{')) = \ J {х'Я{а)х + и'В,(/3)и) (И —>• ппп, 0
где Q(a) и Е(в) - матрицы соответственно размерности (п х п) и (г х г), определяемые следующим образом
Q(a) = + ... + asQs,
Е(в) = РгЯг + ... + (ЗрЕр.
Здесь аг ^ 0 и в ^ 0 - весовые коэффициенты. При этом коэффициенты в не могут одновременно равняться нулю.
Отметим, (6) - это линейно-выпуклая задача оптимального управления, следовательно, для задачи (6) принцип максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности.
В задаче оптимального управления (6) в силу того, что на управление не наложены ограничения, удается выразить из условия максимума
дН
„ = В'ф - R(ß)u = О du
функции Понтрягина
Я = г//(Ах + Ви + f(t)) - ^(x'Q(a)x + u'R(ß)u)
управление:
(7) U = R-1(ß)B^.
Подставив найденное управление (7) в исходную систему (3), объединив ее с сопряженной системой
ф = -А'ф + Q(a)x, ф(Т) = 0,
получим краевую задачу принципа максимума для системы (2n) дифференциальных уравнений:
JХ = Ax + BR-l(ß)B^ + f (t), x(0) = x0, ( ) \ф = Q(a)x - А'ф, ф(Т) = 0.
Таким образом, если при некоторых весовых коэффициентах а, ß найдено решение краевой задачи ( 8), то оптимальное управление и оптимальную фазовую траекторию соответственно можно представить в виде
(9) u* = R-l(ß)B'ф(а, ß, t), x*(a, ß, t) = x(a, ß, t),
где x(a,ß,t) и ф(а,ß,t) - решение краевой задачи (7).
Для краевых задач не существует общих методов решения. Наиболее полно исследована краевая задача для систем линейных дифференциальных уравнений (в частности, метод Абрамова), к которым относится система ( 8). Но тем не менее представляет интерес разработка новых эффективных методов решения линейных краевых задач. В данном случае интерес определяется не только возможностью эффективного решения с их помощью краевых задач, но и их проблемной ориентированностью на применение при разработке алгоритма решения задачи выбора весовых коэффициентов а, ß, обеспечивающих при оптимальном управлении u*(a,ß,t) и на соответствующей ей оптимальной траектории x*(a,ß,t) выполнение ограничений (4) и (5).
4. Краевая задача
Рассмотрим краевую задачу
(10)
ж = Ацж + А12^ + / (£), ж(0) = ж0, ^ = А21ж + А22^, ^(Т ) = 0,
где матрицы Ац, А12, А21, А22 определяются следующим образом: Ац = А, А12 = ВЕ-1(в)В', А21 = ((а), А22 = -А'.
Введя обозначения
т = (7 <()
запишем систему (10) в виде
(11) У = Ау + /(£).
Фундаментальную матрицу ^(£, т) однородной системы, соответствующей системе (11), представим в виде блоков
^(£т) = Г11(£'Т) ^^Л
Решение задачи Коши системы (11) при начальном условии ж(0) = ж0 и при некотором ^(0) = согласно формуле Коши запишется в виде
(12)
ъ
ж(£) = 0)ж0 + ^12(£, 0)^0 + I )/(т)^т,
0
ъ
^(*)= ¿21 (£, 0)ж0 + ^22(£, 0)^0 + I ^21(£,т)/(т)^т.
Используя условие на правом конце ^(Т) = 0, из второго выражения (12) получим
т
^(Т) = ¿21 (Т, 0)ж0 + ¿22 (Т, 0)^° + 1 ^21 (Т,т)/(т= 0.
Отсюда начальное условие можем определить в виде
(13)
= -¿2-21(Т, 0)
т
¿21 (Т, 0)ж0 + 1 ¿21(Т,т)/(т)йт
Таким образом, при некоторых весовых коэффициентах а, в можем записать решение краевой задачи (10) в виде
(14)
1,
х(а,в,г)= рп(г, 0)х° ^У Гп(Ь,т)/(т)с1т + 0)ф°
о
г
ф(а,0,г) = *21(*, 0)х° + I Е21(г,г)! (т)йт + 0)ф°
„о +
°
где ф° определяется выражением (13).
Для нахождения начального значения ф° сопряженной переменной соглас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.