Автоматика и телемеханика, № 8, 2014
Интеллектуальные системы управления
© 2014 г. П.А. БИРЮКОВА (biryukovapa@gmail.com), (Московский физико-технический институт, Долгопрудный) В.В. ТОКАРЕВ, д-р физ.-мат. наук (vvldtokar@gmail.com), (Институт системного анализа РАН, Москва)
ГАРАНТИРУЮЩЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИСХОДЕ МЕЖДУНАРОДНЫХ ПЕРЕГОВОРОВ1
Упрощенно формализована сложная политико-экономическая ситуация о планировании развития национальной экономики в условиях многолетних переговоров о сокращении вооружений в мире с априори неопределенными результатами. На примере двухсекторной леонтьевской динамической модели построена двухэтапная схема оптимального управления с мин-максным терминальным критерием. Такой критерий гарантирует скорейшее достижение наиболее трудной из оборонительной или мирной целей, соответствующей будущим итогам переговоров. С помощью принципа максимума Понтрягина и принципа гарантированного результата получено аналитическое решение примера.
1. Введение
История ведения переговоров между ведущими мировыми державами о сокращении вооружений, а иногда и о полном разоружении, свидетельствует о затяжном характере этих переговоров и даже о неограниченно долгом их продолжении. Конкретные результаты текущих переговоров трудно прогнозируемы, что подтверждается большим разбросом мнений разных экспертов, отечественных и зарубежных [1-4] и др.
С другой стороны, экономика в масштабе страны весьма инерционна. Требуется длительное время, чтобы она смогла достичь тех или иных перспективных целей мирного или оборонительного характера. По этой причине принимать решения о направлениях экономического развития нужно уже сегодня, не ожидая окончания переговоров или какого-либо значительного их этапа. Так что экономическое руководство страны оказывается в положении героя русской народной сказки, которому зловредный царь дает, казалось бы, невыполнимое задание: "Пойди туда, незнамо куда. Принеси то, незнамо что".
Тем не менее принимаются экспертные экономические решения, удачные или неудачные. Но можно получить и теоретическую поддержку со стороны
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №12-07-00156).
современной науки об исследовании операций, накопившей вместе с теорией оптимального управления богатый арсенал математических методов для построения рациональных решений в условиях разнообразных неопределенностей.
Упрощая ситуацию, будем считать, что существенный этап переговоров, скажем, между Россией и США, об ограничении объемов стратегических вооружений и о взаимных регламентациях национальных систем противоракетной обороны завершится к некоторому точно или неточно прогнозируемому сроку. Только тогда станут известны результаты переговоров, по которым руководство России примет долгосрочную цель развития национальной экономики, мирную или оборонительную, из числа заранее сформированных экспертами.
Однако уже до момента окончания переговоров экономику страны нужно ориентировать на некоторую промежуточную цель, которая бы обеспечивала разумный компромисс между пока еще неясной последующей переориентацией экономики на мирное или оборонительное развитие.
Выбор такой промежуточной компромиссной цели вместе с двухэтапным построением оптимальных агрегированных программ инвестирования производится в предлагаемой статье.
Статья написана в русле перспективного направления по привлечению математических моделей к исследованию политологических и военно-экономических проблем. Это направление начато со ставших классическими работ Ричардсона [5] о гонке вооружений и Ланчестера [6] о реальных и виртуальных военных конфликтах между странами. В современных работах круг моделируемых проблем, прежде рассматриваемых только на гуманитарном уровне, все больше расширяется. Математически стали исследоваться процессы голосования [7, 8], динамика линии фронта на двумерной территории [7], военно-экономические противостояния государств в игровой формализации [9-12] и посредством экспертно-компьютерных экспериментов [13]. С разной степенью подробности такие работы освещены в монографии [14] и в учебнике [15] по математическому моделированию, оптимизации и теории игр для студентов нематематизированных специальностей.
В настоящей статье военно-политическое прогнозирование считается прерогативой экспертов. Игровые модели не используются из-за трудности адекватной формализации интересов взаимодействующих государств. Рассмотрение ведется с позиций выделенной страны, действующей по принципу гарантированного результата [16] с применением принципа максимума [17].
2. Двухэтапная схема планирования
Первый этап простирается от момента начала планирования £ = 0 до момента £ = окончания переговоров.
Исходная неопределенность, при £ = 0, о будущих результатах переговоров формализуется в виде двузначного параметра е:
е = 1 — стороны согласились на сокращение и сдерживание вооружений,
е = 2 — стороны не пришли к согласию.
Рис. 1. Траектории двухэтапного развития двух-секторной экономики (до и после £*), где Г граница множества достижимости при £ = штриховкой выделены целевые множества.
Переговоры продлятся долго и закончатся к некоторому моменту времени t = t*, который для простоты сначала полагается известным заранее, уже при t = 0, но исход переговоров тогда еще неизвестен.
Второй этап начинается после окончания переговоров. В зависимости от исхода переговоров перед российской экономикой в момент t* встанет одна из двух существенно различных целей развития — мирная Vi, если е = 1, или оборонительная V2, если е = 2. Мирная цель предполагает преимущественное развитие мощности y потребительского сектора экономики, a оборонительная — преимущественное развитие мощности x фондообразующего сектора.
Любую из этих целей правительству России хочется достичь поскорее посредством распределения инвестиций u между двумя секторами экономики. Сначала, до t = t*, инвестиции должны распределяться в условиях неопределенности цели, и лишь после t = t* распределение будет осуществляться под вполне определенную цель.
Факт достижения цели V(е) формализуется в виде конечных условий у (е) на вектор V = (x,y)T € R2 мощностей двух секторов экономики (рис. 1):
(1) V(T) ^ у(е) = fix,
T - знак транспонирования.
Для формализации задачи и ее последующего решения предлагается использовать схему рекурсивного анализа (от конца к началу).
В момент t = t* известны точно: исход переговоров е, цель развития у(е) и достигнутое к моменту t = t* состояние экономики V*.
Для динамической леонтьевской модели экономики решается задача оптимального управления u(t)[it)y] о скорейшем переходе из состояния V* на целевой квадрант (1) (один из заштрихованных на рис. 1):
(2) V(t*) = V* = fix, V(T) ^ 1>(е) = fix, T ^ min по u(t)[it>T] € U*, где V* - множество.
Решение нужно построить для различных достигнутых состояний V* и для двух целевых множеств: У(е = 1) и У(е = 2). От решения для дальнейшего потребуется только минимальное время перехода
(3) T(V*,e)
в зависимости от V* и е.
В момент t = 0 известно множество E = {е} возможных исходов переговоров E = {1; 2}, известно начальное состояние экономики V0 и построены функции (3).
Программа управления u(t) [o,t+] определяется некоторой промежуточной целью развития V*, принадлежащей границе Г множества достижимости за время t* из состояния V (0) = V0.
Граница Г строится как Парето-оптимальное множество путем решения задачи оптимального управления с параметром ж*, например для двухсек-торной динамической модели экономики:
ж = (1 — и)ж, ж(0) = 1, x(t*) ^ ж* = fix,
(4)
yy = иж, y(0) = 0, y(t*) ^ max по 0 ^ u(t) ^ 1,
где (ж,у)т = V - безразмерные мощности фондообразующего и потребительского секторов соответственно (фазовые координаты), u(t) - программа инвестиций (управление), точкой сверху обозначено дифференцирование по безразмерному времени t, запаздывания во вводе мощностей не учитываются.
Окончательное положение промежуточной цели V* = (ж*,у*)т выбирается по принципу наилучшего гарантирующего результата:
(5) min
Кег
max T(V*,e) ве{1;2}
= T о
где функции (3) строятся по той же модели (4), но с другими краевыми условиями и с другим функционалом:
(6) x(t*) = ж*, y(t*) = y*; ж(Т) ^ Ж(е), y(T) ^ у(е); T ^ min.
Мин-максный критерий (5) априори гарантирует, что, какой бы ни случился исход переговоров е, время T достижения нужной цели У"(е) не превзойдет минимально возможной оценки T0.
3. Решение типовой задачи оптимального управления
Сначала строится заготовка решения детерминированной задачи оптимального управления, однотипной для двух рассматриваемых этапов планирования на время от нуля до t* и от t* до T:
Г ж = (1 — и)ж, ж(^) = ж0, ж(tl) ^ ж1, \ y = иж, y(t0) = y0, y(t1) ^ max по u(t) € [0, 1].
Почти такая же задача была подробно исследована в п. 3.2 темы 8 из [18] как пример использования принципа максимума Понтрягина. Не повторяя деталей проведенного в [18] анализа, несущественных для основного содержания статьи, отметим только отличия и совпадения результатов.
Ограничение на правый конец траектории £(¿1) ^ £1, появляющееся в задаче (7), изменяет условие трансверсальности для сопряженной переменной рх(£1). Вместо рх(£1) = 0 теперь согласно [17, 18] будет
(8) Р*(*1)[ж(*1) - £1] = 0, рл(*1) ^ 0, £(¿1) ^ £1.
Релейный характер максимизирующего управления й в функции сопряженных переменных рх и ру сохранится, что приведет как и прежде к одноступенчатой зависимости й от текущего времени
Г 0 при ^ t ^ + т, г .
(9) й(*) = «' р + <° ' где т € [0, (¿1 - ¿о)].
[ 1 при ¿° + т < t ^ ¿1,
Изменяется, вообще говоря, момент переключения т. Теперь он должен быть назначен так, чтобы выполнилось краевое условие £(¿1) ^ £1, а оставшиеся свободы нужно использовать для максимизации критерия у(¿1) в (7).
С этой целью следует проинтегрировать дифференциальные уравнения из (7) по участкам постоянства управления й^), соблюдая начальные условия и обеспечивая непрерывность фазовых координат ж^) и у^) на границе участков:
первый участок
(10а) ^ г ^ + т, и(£)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.