Автоматика и телемеханика, № 6, 2015
Робастные и адаптивные системы
© 2015 г. В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (vnchest@rambler.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
И^-ПОДХОД К СИНТЕЗУ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Рассматривается задача робастной стабилизации линейных многомерных систем, физические параметры которых могут отклоняться от расчетных (номинальных) в известных границах, а объект управления подвержен действию неизмеряемых полигармонических внешних возмущений (с неизвестными амплитудами и частотами), ограниченных по мощности. Ставится задача синтеза регулятора, гарантирующего робастную устойчивость замкнутой системы и дополнительно обеспечивающего заданные ошибки по регулируемым переменным в установившемся номинальном режиме. Решение задачи опирается на технику размыкания системы объект-регулятор по варьируемым параметрам объекта и сводится к стандартной процедуре ^^-оптимизации, а заданная точность достигается путем выбора весовой матрицы при регулируемых переменных объекта. Приводится решение известной "benchmark" задачи.
1. Введение
Проблеме робастной стабилизации систем с отклонениями параметров от расчетных (номинальных) посвящено большое число исследований (см., например, [1-5]). Вместе с тем в большинстве работ, как правило, в качестве параметров модели рассматриваются либо элементы матриц уравнений состояния, либо коэффициенты передаточных функций, составляющих передаточную матрицу объекта. Вообще говоря, эти параметры не суть физические, так как уравнения состояния и передаточная матрица являются вторичными формами описания динамических систем. Они получаются путем преобразования исходных уравнений динамической системы, записанных на основе фундаментальных физических законов механики и электродинамики. В данной статье речь идет о параметрах этой исходной формы описания, имеющих ясный физический смысл (масса, момент инерции, сопротивление, емкость, индуктивность и т.д.). Кроме того, переход от исходной формы описания в физических переменных к другой обычно сопровождается "перемешиванием" и "размножением" варьируемых параметров, что сильно усложняет исходную задачу и делает конечный результат существенно более консервативным [1].
Обычно реальные динамические системы на практике подвержены действию неизмеряемых внешних возмущений, которые в математической теории управления ограничиваются по какой-либо норме [4-7]. Возмущения от-
клоняют регулируемые переменные объекта управления от их номинальных значений (в задаче стабилизации это нули), поэтому возникает задача обеспечения заданных (не более допустимых) отклонений этих переменных от нуля [6]. Проблеме подавления внешних возмущений посвящено много исследований [4-9]. Так, в [7] развивается метод инвариантных эллипсоидов для внешних возмущений, ограниченных либо евклидовой нормой, либо покомпонентно в каждый момент времени. При этом учитываются ограничения на управляющие сигналы, а также ненулевые начальные условия. Теоретические и численные результаты опираются на метод линейных матричных неравенств (LMI) [5].
В близких направлениях, инициированных публикациями [8, 9], формируется некий дополнительный контур, позволяющий оценить внешнее возмущение, а затем его компенсировать. Здесь делаются различные предположения о свойствах объекта: устойчивый [8] и/или минимально-фазовый [8, 9]. Типичная трудность этих подходов состоит в том, что часть параметров управляющего устройства при его синтезе находится лишь на этапе математического моделирования замкнутой системы.
Развиваемый в статье подход опирается на представление динамической системы в так называемой канонической (W, Л, K)-форме [1, 10, 11] (впервые предложенной в [10]), где физические параметры, подверженные отклонениям от расчетных, образуют внутренние фиктивные обратные связи в виде диагональной матрицы Л. Данный метод благодаря своей инженерной ясности и прозрачности численной реализации можно рассматривать как существенно более простую альтернативу ^-подходу Дж. Дойла [4, 12-15], который имеет крайне сложный вычислительный характер с малой эффективностью для вещественного случая неопределенностей (real-^) [4, 13] и приводит к регуляторам сверх высокого порядка (см., например, [15], где для объекта второго порядка регулятор имеет 22-й порядок!!!).
В качестве неизмеряемых внешних возмущений рассматриваются полигармонические возмущения, ограниченные по мощности. При этом аналогично [16, 17] используется понятие радиуса установившегося состояния динамической системы по регулируемым переменным (характеризующего точность), и регулятор, помимо робастной устойчивости, должен обеспечивать заданный или минимизируемый радиус.
Решение задачи робастной стабилизации оригинальное и опирается на частотное матричное неравенство, определяющее многомерные запасы устойчивости по коэффициенту усиления при размыкании замкнутой системы по параметрам (фиктивной управляющей переменной и, в (W, Л, K)-форме), в отличие от классических точек размыкания: физический вход или выход объекта. Это частотное условие сводится к стандартной проблеме парирования внешних возмущений Нте-подхода [1], а заданная точность достигается путем специального выбора весовой матрицы при регулируемых переменных объекта аналогично [16, 17]. Программно данный подход реализован в рамках MATLAB на основе пакета Robust Control Toolbox [12] и использует технику LMI. Приводится пример синтеза регулятора для широко известной "benchmark" задачи из [1, 12, 13].
2. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями в физических переменных:
(21) Ыр)г; (г) = Ыр)п(г) + Тз(р)/(г),
у(г) = (г),
где Zf — 1-мерный вектор физических переменных объекта (скорость, ускорение, ток, напряжение, перемещение, угол поворота и т.д.); и — т-мерный вектор управляющих воздействий; у — т2-мерный вектор измеряемых (и одновременно регулируемых) переменных объекта; / — ^-мерный вектор внешних ограниченных неизмеряемых возмущений; N — известная числовая матрица размера т2 х 1; Т^р), Т2(р), Т3(р) — полиномиальные матрицы размеров 1 х 1, 1 х т и 1 х ц соответственно оператора дифференцирования р = й/(И:
«1 «2 аз
(г)р т_ (р) = ^ тО)р> т.„ (р) = т.3^Рк
(2.2) Т(р) = £Т/У, Т2(р) = £¿2 р', Тз(р) = £т3к)р'
г=0 '=0 к=0
г (¿) т (') г (к)
где , ¿2 , ¿з — известные вещественные матрицы соответствующих размеров, а2, а3 < оь
Будем полагать, что объект (2.1) стабилизируем и детектируем. Элементы матриц Ь^ (г = 1,0:1), (З = 1>а2) далее будем называть физическими параметрами объекта управления. Пусть п физических параметров объекта (их число и расположение в матрицах не ограничено) с номинальными значениями А1, Л2,..., Ап могут принимать значения из заданных интервалов
(2.3) Аг+ДАг€(АГ\ АГХ), г=~г,
где ДАг - отклонение параметра от расчетного, А™1П, А™ах - известные нижняя и верхняя границы.
Элементы матрицы Тз(р) на устойчивость замкнутой системы не оказывают влияния, поэтому их отклонения от расчетных далее не рассматриваются.
Компоненты вектора внешних возмущений / представляют собой ограниченные полигармонические функции
Р0
(2.4) /(£) = ^ ицк ът{шк1 + гра.), г = 1
к=1
Здесь амплитуды иц^, начальные фазы ф^, (г = 1,/л, к = 1 ,р0), а также частоты (к = 1,р0) гармоник не известны, однако известно, что амплитуды гармоник подчинены условию (ограничивающему мощность каждой компоненты внешнего возмущения):
Р0
(2.5) К*)2, г = Т7м,
к=1
где ро - известное число гармоник, и>* (г = 1,/л) - заданные числа.
Определим установившиеся ошибки по регулируемым переменным соотношением из [6, 16] y^st = lim sup|j/i(i)| (г = 1,Ш2). Обычно требуется найти
t—у^о
такой стабилизирующий регулятор по выходу чтобы выполнялись неравенства (требования к точности) y^st ^ у* (г = 1,т2), где у* > 0, г = 1,Ш2, -заданные числа. Однако ясно, что такого регулятора может не быть, поэтому определим радиус установившегося состояния замкнутой системы по регулируемым переменным соотношением
m-2 ,
(2.6) ^ = Е (yif
i=l yi
и этот радиус будем ограничивать [16, 17].
Задача 1. Построить стабилизирующий регулятор по выходу
(2.7) п(г) = к (р)у(г)
такой, чтобы, с одной стороны, при заданных конечных отклонениях параметров Х\, Х2,..., Xп от расчетных (2.3) замкнутая система (2.1), (2.7) сохраняла асимптотическую устойчивость, а с другой - выполнялось условие
То2 , ч 2
(2-8) ^ = Е 7
г=1 У'>' /
где К(р) - передаточная матрица регулятора, элементы которой - правильные дробно-рациональные функции оператора р; 7 - заданное или минимизируемое число.
Легко видеть, что знаку равенства в выражении (2.8) (при известном 7) соответствует уравнение гиперэллипсоида с заданными полуосями, поверхности которого принадлежат ошибки регулирования. Если в результате решения задачи синтеза получилось 7 ^ 1, то, очевидно, выполнены и требования к точности.
3. Приведение системы к канонической , Л, К)-форме
Для решения поставленной задачи представим уравнения замкнутой системы (2.1), (2.7) в канонической (Ш, Л, К)-форме [1] с учетом внешнего возмущения /:
у = ШцИ + Ш^и + Ш1з/, / = Лу, у = Ш21У + Ш22и + Ш2з/, и = К (в)у,
где И^з) (г = 1,2, у = 1,3)- известные передаточные матрицы, не содержащие варьируемых параметров (2.3); и, у - физические вход и выход объекта управления (2.1); у, у — п-мерные фиктивные вход и выход объекта управления; Л = diag [Х1, Х2,..., Хп] - диагональная матрица параметров объекта
Рис. 1.
управления, подверженных отклонениям от расчетных; К(в) - искомая передаточная матрица регулятора (2.7), где в - символ преобразования Лапласа.
Структурная схема (^, Л, К)-формы, соответствующая уравнениям (3.1), приведена на рис. 1.
Теорема 1. Уравнения замкнутой системы (2.1), (2.7) всегда могут быть представлены в эквивалентной (Ж, Л, К)-форме (3.1).
Доказательство теоремы 1 конструктивно дает алгоритм построения Л, К)-формы и приведено в Приложении.
4. Подход к решению задачи [1]
Передаточная матрица разомкнутой системы (3.1) по варьируемым параметрам Хг (г = 1, ?г) (когда размыкание
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.