Автоматика и телемеханика, № 8, 2015
© 2015 г. Ас.Ж. ХУРШУДЯН (khurshudyan@ysu.am) (Ереванский госуниверситет)
МЕТОД БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Предлагается применить метод Бубнова-Галеркина к решению задач управления билинейными системами. Решение задачи управления удается свести к конечномерной системе линейных проблем моментов. Рассмотрен конкретный пример применения указанной процедуры и приведено его численное решение.
1. Введение
Множество прикладных задач, например таких, как оптимизация структуры и топологии конструкций [1—4], некоторые процессы в квантомеханиче-ских системах, экологии, медицине, математической экономике, инженерии и т.д. [5], математически моделируются билинейными системами, т.е. системами, уравнения состояния которых линейны относительно обоих искомых функций. Билинейные системы являются простейшими нелинейными системами, описывающими многие реальные процессы в самых разных отраслях науки, которые в рамках линейной теории моделируются некорректно.
Понятие билинейной системы введено в теорию управления в 60-х годах прошлого столетия, и с тех пор по этой тематике опубликовано много работ. Сравнительно полный список литературы можно найти в монографии [5]. Другие задачи управления билинейными системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, можно найти, например, в [6, 7], а уравнениями в частных производных - в [8-13].
В настоящее время разработаны несколько точных и приближенных методов решения задач управления билинейными системами. Для решения задач управления билинейными системами в [5] систематически используется теория матричных групп Ли. Та же методика использована в [8] для доказательства вполне управляемости билинейного управления изгибных колебаний пластин, причем искомое управление зависит от всех независимых переменных. В [13] искомая функция управления фигурирует в коэффициентах функции состояния уравнения Шредингера, а в [9, 12] - первой производной функции состояния волнового уравнения. Интересная задача управления коэффициентом для нелинейного относительно функции состояния, но линейного относительно функции управления уравнения Кортевега-де Вриза рассмотрено в [11]. А в [1] методами классического вариационного исчисления исследованы разные задачи теории упругости, когда уравнения состояния линейны относительно функции состояния и нелинейны относительно функции управления. При исследовании задач структурной и типологической оптими-
зации широко используется метод конечных элементов в сочетании с методом Фурье разделения переменных [2-4].
В настоящей статье предлагается новый приближенный метод решения задач управления билинейными уравнениями, математический аппарат которого основан на процедуре Бубнова-Галеркина [14]. Подход продемонстрирован на важном примере, когда искомая функция управления явно не зависит от одного из независимых переменных. В таких ситуациях для определения искомого управления предлагается применить обобщенный метод финитного управления Бутковского [15].
2. Процедура Бубнова-Галеркина для билинейных систем управления
Задача управления билинейной системой в частных производных обычно требует оптимизировать заданный функционал к[и] выбором функции u из заданного множества U допустимых управлений при дифференциальных ограничениях
(1) Vu[w]= N(x,t), x € Q С R3, t> 0. Решение (1) удовлетворяет заданным линейным граничным
(2) B[w] = wd(t), x € dQ, t > 0,
и некоторым начальным условиям. Здесь Vu[w] - дифференциальный оператор, определенный в области Q х R+ и содержащий произведение функций состояния w и управления u или же их производных, B[-] - заданный линейный оператор, определенный в области dQ х R+. Как обычно, dQ обозначает границу области Q, n - вектор ее внешней нормали. Примеры оператора Du[■] можно найти, например, в [1, 4, 5, 8-13].
Целью задачи управления может являться обеспечение для решения граничной задачи (1), (2) требуемых конечных условий при фиксированном t = = T. Конечные условия чаще всего принимаются равными нулю.
В настоящей работе предлагается применить процедуру Бубнова-Галер-кина [14] к решению описанной задачи управления. Если удастся построить систему линейно независимых базисных (аппроксимирующих) функций j^fc(x,t)}n=0 краевой задачи (1), (2), то невязка, получаемая подстановкой приближенного решения
n
(3) wn(x,t) = Mx,t) + £ ак (x,t)
к=1
в уравнение (1), будет
(4) Kn(x, t) = Vu[wn) - M{x, t), x eQ, t> 0.
Согласно методу Бубнова-Галеркина искомые коэффициенты ак определяются из условий ортогональности базисных функций |^>k(x,t)}n=o к невяз-
ке (4) [14]:
т
(5)
//
7Zn(x, 1)с1,х(и = 0, к = 1; п.
о п
Если при некотором по € N невязка (4) тождественно равна нулю: ^п(х,^) = 0, то соответствующее приближение wnо (3) будет точным решением граничной задачи (1), (2). В противном случае, увеличив число п слагаемых в (3), можно приблизить искомое решение к точному с требуемой точностью. Тогда предельный случай wте(x,t) будет точным решением задачи (1), (2).
После определения коэффициентов ак из системы линейных алгебраических уравнений (5) и подстановки их в приближенное решение (3), учитывая, что в момент времени Т должны выполняться заданные конечные условия, для определения искомой функции получим систему ограничений вида
где ядра Кк(х^) и постоянные Мк зависят от параметров системы (1), (2).
Из системы (6) искомую функцию можно определить разными способами, например способом, предложенным в [16], трактуя эту систему как проблему моментов [16, 17]. Удобность такого подхода состоит в том, что удается не только построить явный вид функции управления, но и установить условия его существования [15-19].
Решение задач управления билинейными системами таким образом можно свести к проблеме моментов, которая в данном случае в отличии от [15] является конечномерной.
Упругие балки, подверженные воздействию подвижных нагрузок, являются простейшими моделями мостов, по которым движутся поезда. В связи с этим гашение изгибных колебаний таких балок за конечный промежуток времени имеет непосредственную прикладную ценность. В [20-25] рассмотрено множество прикладных задач гашения колебаний систем, подвергающихся воздействию подвижных нагрузок, посредством динамических гасителей колебаний (демпферов). Гасители рассматриваются на основе либо вязкой, либо вязкоупругой моделей, причем основным параметром оптимизации является смещение гасителей при их фиксированных конфигурации и расположении под балкой [20-23]. Вязкая модель гасителей позволяет заменить их воздействие на балку силой, пропорциональной некоторой степени скорости точек балки, тогда как воздействие вязкоупругих гасителей на балку заменяется силой, пропорциональной комбинации скорости и перемещения точек балки. В последнее время с целью повышения сейсмостойкости сооружений исследуются также оптимальные расположения и число вязкоупругих гасителей
т
(6)
к = 1; п,
о
3. Демпфирование балки при подвижном воздействии
колебаний [24, 25]. Основным аппаратом решения этих задач является метод разделения переменных, поскольку при заданном расположении гасителей задача математически формулируется в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
В качестве примера применения указанной процедуры рассмотрим задачу оптимального распределения вязких гасителей колебаний под упругой, однородной балкой конечной длины 21, шарнирно опертой по краям х* = —I и х* = I. Пусть балка изгибается под воздействием постоянной нагрузки Р*, равномерно движущейся по балке со скоростью V* (рисунок).
Принимается линейно-вязкая модель гасителей, т.е. предполагается, что воздействие гасителей на балку пропорционально первой степени скорости перемещения точек балки. Предположив, что нагрузка отделяется от балки в заданный момент времени т* > 0, требуется погасить колебания балки в фиксированный (заданный) момент времени Т > т*. Задачу математически можно сформулировать в виде следующего билинейного дифференциального уравнения относительно безразмерного прогиба балки [21]
(7)
д4ш 2 д2ш 2 , . дш
Ш + р + 01 и{х)~т
= Р5(х + 1 — v(t + п))[в(г + п) — в(г + п — т)], х € (—1,1), г € (—п,п), решение которой удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания:
(8)
ш(±1,г) =
д2ш(х, г)
дх2
= 0, г € (—п,п).
ж=±1
Здесь и(х) - безразмерная функция управления, характеризующая закон распределения гасителей под балкой, в (г) - единичная ступенька Хэвисайда, 5(х) - импульсная функция Дирака [26],
ш* х* 2г* Т
_ 2тт
т Т Т*' ^ ~ ЕЗ ■
2 2п а*14
а =--—,
Т ЕЗ '
2 = 4тг2 Р Т2 ЕЗ '
V =
2тг I
Т
пт*'
- жесткость балки на изгиб, а* - коэффициент вязкости гасителей. Особенность примера состоит в том, что функция управления явно не зависит от независимой переменной г.
Основной целью исследования является гашение колебаний балки за счет выбора допустимой функции управления и° € и, минимизирующей функционал [16]
(9)
I
к [и] = J п(х]йх, и € и.
-I
Уже на этом шаге можно было бы применить указанную выше процедуру, однако, пользуясь особенностью примера, поступим немного иначе. Сперва запишем уравнение (7) и условия (8) для всех действительных г. Вводя оператор [10, 18, 19] Ап[/] = + п) — — п)]/(г) = Д(г), определенный на всей числовой оси, запишем задачу (7), (8) в обобщенных функциях [26]:
(10)
(11)
д4г1
дх4
+ а и(х)
дг1
~~дГ
= Р5(х + 1 — v(t + п))[в(г + п) — в(г + п — т)] + + а2и(х)го(х)5(г + п) + в2 [го(х)5'(г + п) + го(х)5(г + п)]
х € (—1,1), г € М,
WI(±1,t) =
д2ад1(х, г)
дх2
= 0, г € м,
х=± I
w0(x) и го0(х) - начальные функции, а производная дельта функции - 5'(г) понимается в обобщенном смысле [26]. Стоит отметить, что функция гго(х) является лишь символическим обозначением и не характеризует производную.
Ясно, что введенная функция г1(х,г) сосредоточена в области [—1,1] х х [—7Г,7т], т.е. вирр и!\ С [—1,1] х [—7г,7г], где вирр / = {ж € М : /(ж) ф 0} обозначает носитель функции /. Исходя из физических рассуждений полагаем, что множество и допустимых управлений состоит из действительных неотрицательных функ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.