Автоматика и телемеханика, № 6, 2015
Нелинейные системы
© 2015 г. В.В. ЕВСТАФЬЕВА, канд. физ.-мат. наук (vica@apmath.spbu.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет)
ОБ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВУХТОЧЕЧНО-КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ В НЕАВТОНОМНОЙ РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ С ГУРВИЦЕВОЙ МАТРИЦЕЙ
Рассматривается система дифференциальных уравнений с релейной нелинейностью и внешним непрерывным периодическим воздействием. На параметры системы получены достаточные условия существования и единственности двухточечно-колебательного решения с заданным периодом в случае гурвицевой матрицы системы. Точными аналитическими методами определены моменты времени и точки переключения в фазовом пространстве изображающей точки решения, имеющего период, кратный периоду внешнего возмущения. Получены условия на параметры системы, при которых решение рассматриваемого класса является асимптотически-орбитально устойчивым.
1. Введение. Постановка задачи
В статье рассматриваются вопросы существования периодических решений с наперед заданными свойствами и их устойчивость для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с релейной нелинейностью и внешним возмущением.
В [1] для систем рассматриваемого класса доказана теорема о существовании по крайней мере одного асимптотически устойчивого решения, период которого совпадает с периодом внешнего воздействия, если внешнее воздействие задается в аналитическом виде и выполняются условия позитивности и гурвицевости матрицы системы.
В отличие от [1] для исследования систем указанного класса автором данной статьи используется подход, позволяющий определять условия на параметры системы, при которых могут возникнуть и существовать периодические решения с периодом, кратным периоду внешнего возмущения. Получены условия, при которых в системе существует единственное асимпотически-орбитально устойчивое периодическое решение. В отличие от [2] в данной статье изучен вопрос устойчивости искомого решения; получены условия достижимости изображающей точкой периодического решения гиперплоскостей переключения без касания; уделено внимание поиску момента времени первого переключения при заданном периоде искомого субгармонического решения и анализу пространства параметров исходной системы, в том числе и управляющей функции, в случае, когда матрица системы Гурвицева.
В [3] представлен случай, когда среди собственных чисел матрицы системы по крайней мере одно является положительным.
Рассматривается п-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
(1) У = ЛУ + Би(а) + К/(Ь), а = (С, У),
(ЬЛ (кЛ (СЛ
где матрица Л, векторы Б = ... , К = ... , С = ... - веще-
\Ьп ) \кп ) Vе"/
ственные и не зависящие от времени, У - вектор состояний системы. Функция и(а) описывает релейную нелинейность типа неидеального реле с пороговыми числами 12 (^1 < 12) и выходными числами ш\, т,2 (т\ < Ш2). Функция и(а(Ь)) определена в классе непрерывных функций и задается в соответствии с [1]. Петля гистерезиса обегается против хода часовой стрелки. Функция / (Ь) принадлежит классу непрерывных периодических функций и описывает внешнее воздействие на систему.
Система (1) содержит разрывную нелинейность. Отметим, что в современных публикациях задачи управления системами с разрывными нелинейностя-ми (в том числе вопросы существования решения) исследуются вариационным методом, методом регуляризации и теории топологической степени для многозначных компактных векторных полей (см., например, [4-6]). В данной статье используется иной подход, который подробно рассмотрен в [3].
2. Предварительные сведения
Приведем необходимые сведения для понимания сути нижеследующих теорем, которые являются основными результатами данной работы.
Решения системы (1) рассматриваются в классе непрерывных периодических функций с двумя точками переключения У1, У2 и периодом Тв. Под точкой переключения будем понимать такое состояние системы, при котором функция а достигает одно из своих пороговых чисел, а управляющая функция и = и(а) изменяет выходное число (происходит переключение реле). Таким образом, в точках переключения происходит "сшивание" кусков траекторий решения в силу правой части системы, которая является линейной при и(а) = т1 и и(а) = т2.
Проведем анализ фазового пространства системы (1). Матрица системы Л имеет отрицательные вещественные собственные числа, поэтому с помощью функций Ляпунова на гиперплоскостях переключения можно выделить выпуклые компактные множества, которые в силу решения системы (1) отображаются в себя. Нулевое решение системы У = ЛУ является асимптотически устойчивым. Существуют положительно определенная функция VI (У) и отрицательно определенная функция Ш (У), которые связаны соотношением dVl/dt = Ш(У) в силу системы У = ЛУ. Определим условия, при которых полная производная функции VI (У) в силу системы (1) будет отрицательной,
т.е.
= A*WA + [B*u(a) + K*f (t)]ViY + Y*Vi[Bu(a) + Kf (t)] < 0,
символ * означает транспонирование. Неравенство (2) имеет место, если
1
(3) ||Y|| >
max |mi| ■ ||B|| + M ■ ||K||
i=i, 2
где |f (t)| < M = const.
Уравнения Vi(Y) = Ci при постоянной Ci определяют замкнутые поверхности. Очевидно, что существует минимальное значение Ci, для которого выполняется неравенство (3).
Для пересечения поверхностью Vi(Y) = min Ci гиперплоскостей переключения вида (C, Y) = (i = 1, 2) необходимо потребовать выполнение следующих условий:
—(C, A-iBm2) < li, -(C, A-iBmi) > I2.
Последние условия означают, что при f (t) = 0 система (1) имеет Y = 0 в точках Y% = —A-iBmi (i = 1, 2), причем эти точки находятся вне зоны неоднозначности функции u(a).
Траектория изображающей точки в силу системы (1) останется в области фазового пространства, ограниченной поверхностью Vi(Y) = min Ci, если начальная точка Y0 взята из этой области. Пересечение множества, которое задается неравенством Vi(Y) < min Ci, с каждой из двух гиперплоскостей переключения определяет два выпуклых, компактных множества Si (i = 1, 2), описываемых системой:
(C, Y)= li, i = 1, 2.
1 max \nij\ ■ ||.B|| + M ■ ||ii ||
j=i, 2
1|Уу <
Таким образом, в фазовом пространстве определены множества, которые отображаются в силу решения системы (1) в себя, и если система (1) имеет периодическое решение рассматриваемого класса, то точки переключения принадлежат указанным множествам.
Для нахождения точек переключения и моментов времени переключения (второй момент времени совпадает с периодом Тв) строится система трансцендентных уравнений на основе свойства периодичности искомого решения и с учетом того, что точки переключения лежат на гиперплоскостях вида (С, У) = I (г = 1, 2). Вид системы зависит от выбранной последовательности движения изображающей точки решения от одной гиперплоскости переключения к другой. Воспользуемся представлением решения в форме Коши и один из вариантов системы представим так:
(4) 11 = (С, У1) , 12 = (С, У2) ,
у 2 = еЛЬ1 У1
У1 + У еЛ(*1-т )(Вш1 + К/(т ))йт, о
Те
у1 = еЛ(тЕ-*1)у2 + 1 еЛ(ТЕ -т )(ВШ2 + К/(т ))йт.
Вид системы (4) соответствует следующей траектории решения системы (1). Изображающая точка решения начинает свое движение в точке У1 на гиперплоскости а = £1 в момент времени ¿о = 0 и достигает точки переключения У2 на гиперплоскости а = £2 в момент времени ¿1 в силу системы (1) при условии, что Шг = Шь Затем она возвращается в точку переключения У1 на гиперплоскости а = £1 в момент времени Тв в силу системы (1) при условии, что шг = ш2. Далее изображающая точка Тв-периодического решения системы продолжает свое движение в интегральном пространстве (У, ¿) в соответствии с указанной выше последовательностью.
В общем случае полученную систему трансцендентных уравнений можно решать численными методами и найти приближенные решения (¿1, Тв, У1, У2). Следует отметить, что и для исходной системы можно найти приближенное периодическое решение, например, согласно алгоритму челночных итераций, впервые предложенному М.А. Красносельским и А.В. Покровским в [7].
Однако в данной статье решается задача поиска, по крайней мере, точек "сшивания" кусков траектории точными методами. С этой целью для разрешимости системы трансцендентных уравнений в аналитическом виде исходную систему преобразуем. Вид преобразования зависит от собственных чисел матрицы системы (1).
В случае когда система (1) полностью управляема по отношению ко входу и(а) и среди собственных чисел А^ (г = 1 ,п) матрицы А имеются только простые, отрицательные и вещественные, система (1) приводится неособым преобразованием У = БХ к каноническому виду
(5) XX = АоХ + Вои(а) + Ко/(¿), а = (Г,Х),
где матрица системы Ао на диагонали содержит собственные числа Хг (г = = 1 ,?г), остальные элементы нулевые, а стоящий перед управляющей функцией п-мерный вектор Во состоит из единиц.
Матрица неособого преобразования имеет следующий вид:
(6)
Б = -
( АМА1)
V Я'(А1)
А^А») \ П'(Хп)
Хп{Хп)
П'(Хп) )
где £>'(Аг) = ^^ ч , Л^(Аг) = V" , / >/А (А -} и - алгебраическое
р=А
дополнение элемента а^ матрицы А.
Полагаем далее, что элементы преобразованного вектора обратной связи (а = 1,..., в — 1,5 + 1,..., п) обращаются в нуль, а 7^ = 0. Тогда система уравнений (4) принимает вид, удобный для анализа, а именно разделяется на систему относительно только моментов времени переключения ¿1 и ТВ:
(7)
4 = + е^ - ^1+7¡е^ПтЦт,
о
£г = (¿2 + - ^ + Ък°а | е^^/^т
и формулы для нахождения точек переключения X1 =
X1
Хп
и X2 =
X1
преобразованной системы, где х] = 11/7«, х2 = 12/7«, а остальные
координаты определяются следующим образом:
ж1 =1 — еА
А,Тв ^ 1 I еА, ТВ
¿1 Тв Тв
-,—А,-г^ , ^ _ / „—А,-т , 7,0 ^ / „—А,-г.
Ш1 у е"Л,т^т + е"Л,т^т + Щ/о у е"Л,т^т+
0 ¿1 о
Тв
Тв Тв
+ ^0/1 У е-А,т 81п(шт + р^т + £0/2 У е-А,т 81п(2шт +
ж2 =1 — еА,
А,Тв) 1 еА,¿1 ( У е-А,(Тв —т)[ш2 + £0(/о+ +/1 sin(wí + ^1) + /2 sin(2wí + <^2))]^т+
¿1
+ I е-т[Ш1 + £0(/о + /1 sin(wí + <^) + /2 sin(2wí + <^))]^т .
Тв
2
X
п
3. Результаты
Рассмотрим вопрос о достижимости изображающей точкой решения системы (5) гиперплоскости вида а(£) = (г = 1,2). С помощью функции Ляпунова выделим огранич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.