Автоматика и телемеханика, № 3, 2015
Линейные системы
© 2015 г. М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ¿з-ОГРАНИЧЕННОМ УПРАВЛЕНИИ
На основе техники линейных матричных неравенств решается задача построения выпуклой оценки области притяжения для линейной системы при ^-ограниченном управлении в форме статической линейной обратной связи по состоянию. Исследована робастная постановка задачи, когда система управления содержит структурированную матричную неопределенность. Приведены результаты численного моделирования.
1. Введение
Как известно [1], задача построения стабилизирующей статической линейной обратной связи по состоянию для линейных систем эффективно решается с помощью техники линейных матричных неравенств. При этом, как правило, никакие явные требования к самому регулятору, помимо стабилизируемости, не предъявляются.
Тем не менее, поскольку на практике ресурс управления ограничен, естественно накладывать некоторое ограничение сверху на величину управляющего воздействия. Более того, интуитивно понятно, что "достаточно удаленные" начальные условия могут вступать в противоречие и с требованием ограниченности управления, и с желаемой степенью устойчивости замкнутой системы.
В [2] на основе техники линейных матричных неравенств [3, 4] предложен регулярный способ синтеза статической линейной обратной связи по состоянию при -ограниченном управлении, однако вопрос описания соответствующей допустимой области начальных состояний остался вне ее рамок.
В настоящей работе рассматриваются линейные системы с Ь2-ограничен-ным управлением. Задачи с Ь2-ограниченными входами исследуются в Н2-и Нте-оптимизации [3, 5-9]; здесь же, с одной стороны, ограничимся линейными обратными связями, а с другой — сосредоточимся на конструктивном описании области допустимых начальных состояний системы.
В некоторых постановках задачи нетрудно получить точное описание данной области; в других, в частности при робастной постановке задачи, когда в системе содержится структурированная матричная неопределенность, будет получена ее конструктивная выпуклая оценка.
2. Постановка задачи
Рассмотрим систему управления
(1) Х = Ах + Ви, х(0) = х0,
где А € Мгахга, В € Мгахт, с фазовым состоянием х(£) € Мга и управлением и(£) € Мт; пара (А, В) управляема.
Назовем множеством притяжения системы (1) совокупность точек фазового пространства, из которых система может быть приведена в начало координат с помощью ¿2-ограниченного программного управления и,(Ь):
сс
(2) ! \\и(Щ2<И <
0
В дальнейшем ограничимся рассмотрением более узкого класса управлений — статическими линейными обратными связями по состоянию и введем в рассмотрение множество А^ начальных состояний системы (1), для которых существует управление в форме статической линейной обратной связи по состоянию
(3) и = Кх,
которое стабилизирует замкнутую систему (1) и вдоль всей ее траектории удовлетворяет ограничению (2) при заданном уровне ц допустимых управлений. Будем называть множество Ам множеством притяжения системы (1), а регулятор К допустимым.
В простейшем случае множество А^ является эллипсоидом; если же в матрице А системы (1) содержится неопределенность, будет получена простая и удобная характеризация этого множества.
3. Множество притяжения для системы без неопределенностей
Прежде всего, заметим, что множество А^ ограничено тогда и только тогда, когда матрица А антиустойчива, т.е. все ее собственные числа имеют положительные вещественные части; именно этот случай для простоты и будем рассматривать.
В простейшем случае, для системы без неопределенностей, множество А^ устроено весьма просто. В самом деле, нетрудно видеть, что точка х0 принадлежит области А^ тогда и только тогда, когда интегральное ограничение (2) выполняется при линейно-квадратичном законе управления с функционалом
с
3 = У \\иф\\2<И.
0
Отсюда непосредственно вытекает следующий, хорошо известный результат.
Теорема 1. Множество притяжения Ам для системы (1), (2) представляет собой эллипсоид
Е = {х € Мга: хТР-1х <
с матрицей Р У 0, являющейся решением уравнения Ляпунова
АР + РАТ = В ВТ
При этом
К = -В ТР-1
является общим регулятором для всех точек множества А
Рассмотрим более сложную ситуацию, когда необходимо гарантировать желаемую степень устойчивости а > 0 замкнутой системы, т.е.
ИеА^А + ВК) < -а.
Можно предложить простую эллипсоидальную аппроксимацию соответствующей области притяжения . Пусть Р У 0 — решение матричного уравнения
АР + РАТ = В ВТ - аР,
которое существует при любом а > 0 в силу антиустойчивости матрицы А. Замкнем систему (1) регулятором
К = -Втр-1,
тогда
Ас = А + ВК = А - ВВТр-1 = А - (Ар + РАТ + ар)р-1 = -РАТР-1 - а1, откуда
А (Ас) = -А (А) - а.
Таким образом, найденный регулятор сдвигает все корни матрицы -А влево на расстояние а. При этом внутренней оценкой области притяжения АЛО-будет служить эллипсоид
Е = {х € Мга: хТ^х <
с матрицей Q У 0, удовлетворяющей уравнению Ляпунова
(А + В К )TQ + Q(A + В К) = -К ТК.
Итак, получено следующее утверждение.
0,3 \-0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 1. Множество Ам и оценка множества Ам,а при р = 1 и а = 1.
Теорема 2. Внутренней оценкой множества притяжения для системы (1), (2) служит эллипсоид
Е = {х € №п : хТ$ 1 х ^
с матрицей $ 1 0, являющейся решением уравнения Ляпунова
(А + вК 1 )Т $ + $(А + вК 1) = -К Т К.
При этом общим регулятором для всех точек эллипсоида является
где
К1 = -вТ Р-1,
АР1 + Р1АТ = ВВТ - аР1.
Как показывают примеры, часто эта оценка не слишком консервативна. Пример 1. Рассмотрим систему вида (1) с матрицами
А=
1 2 1 3
В=
При этом
А1 (А) = 0,2679, Л2 (А) = 3,7321. При ^ = 1 теорема 1 определяет эллипс с матрицей
Р =
0,5000 -0,2500 -0,2500 0,2500
и соответствующий регулятор
К = (-4,0000 -8,0000) ; при этом корни замкнутой системы равны
А1(А + ВК) = -0,2679, А2(А + В К) = -3,7321. Теперь зададимся желаемой степенью устойчивости замкнутой системы
а = 1.
В соответствии с теоремой 2 находим матрицу эллипс
р = /5,8441 4,8931\ Ql = ^4,8931 8,4421)
4,8931 8,
регулятор ( )
К1 = (-6,4641 -9,4641)
и корни замкнутой системы
А1(А + ВК^ = -1,0000, А2(А + ВК^ = -4,4641.
На рис. 1 пунктиром показано множество притяжения А^ для рассматриваемой системы; сплошной линией показана внутренняя эллипсоидальная оценка области притяжения
4. Множество притяжения для системы: робастный вариант
4.1. Постановка задачи
Пусть система управления содержит структурированную матричную неопределенность:
(4) х = (А + ^ АН )х + Ви,
где ^ € Мгахр и Н € М?хга — постоянные (так называемые "обрамляющие") матрицы, а матричная неопределенность А € Мрх<? ограничена в спектральной или фробениусовой норме:
1|А|| < 1.
Будем описывать множество начальных состояний системы (4), для которых существует стабилизирующее управление в форме линейной обратной связи по состоянию (3), вдоль траектории системы удовлетворяющее ограничению
J ||Кх||2^ < ^ 0
при всех допустимых значениях матричной неопределенности А.
В этом случае множество Ам устроено гораздо более сложным образом; будем строить его внутреннюю выпуклую оценку
АЦ С
с помощью опорных функций.
Напомним, что для множества X С Кга и вектора с € Кга опорной функцией называется
(с) = тах сТж.
Замкнутое ограниченное выпуклое множество X однозначно восстанавливается по своей опорной функции (с), ||с|| = 1, а именно,
X = {ж: сТж ^ (с), ||с|| = 1}
— пересечение опорных полупространств.
Далее покажем, что по произвольному вектору с, ||с|| = 1, можно эффективно строить точку (с)с, лежащую на границе множества А^. Это позволяет получить простую внутреннюю оценку достижимого множества — в виде выпуклой оболочки
еопу (с)сг}.
Для каждого направления сг нахождение соответствующей точки сводится к решению задачи полуопределенного программирования.
4-2. Основной результат Замкнув систему (4) допустимым регулятором (3), приходим к системе
ж = (А + ^ ДЯ + В К )ж, ж(0) = жо,
откуда
При этом соотношение (2) может быть представлено в виде
||КАЯ+ВК)Ч||2^ < р.
Таким образом, при фиксированном допустимом регуляторе (3) приходим к соотношению
те
жТ/ АН+ВК)Т*КТКАЯ+БК)^ жо < р,
о
4-V-'
Я
которое должно выполняться при всех Д € Мрх<?: ||Д|| ^ 1.
те
о
В данном случае получить решение через уравнение Ляпунова уже не удастся — для каждой реализовавшейся допустимой неопределенности следовало бы решить свое уравнение Ляпунова. Поэтому разовьем иной подход, основанный на использовании линейных матричных неравенств. А именно, вместо уравнения Ляпунова будем рассматривать соответствующее матричное неравенство:
(5) (А + РДЯ + ВК)Т$ + Я(А + РДЯ + ВК) ^ -КТК.
При этом [10] для любого его решения Я верно
Я > Я-,
где Я- — решение соответствующего уравнения Ляпунова.
Домножив неравенство (5) справа и слева на матрицу Р = Я-1, получаем
(А + РДЯ + ВК)Р + Р(А + РДЯ + ВК)Т ^ -РКТКР или, вновь вводя вспомогательную матричную переменную У = КР, АР + РАТ + РДЯР + РЯТДТРТ + ВУ + УТВТ + УТУ ^ 0. Аналогично "неробастному" случаю легко показать, что можно положить
У = -ВТ,
и в результате приходим к матричному неравенству
АР + РАТ + РДЯР + РЯТДТРТ - ВВТ ^ 0,
которое должно выполняться при всех допустимых значениях матричной неопределенности ||Д|| ^ 1.
Воспользовавшись леммой Питерсена [11] приходим к эквивалентному условию существования е > 0 такого, что
АР + РАТ - ВВТ + еРРт + -РЯТЯР ^ 0,
е
или по лемме Шура [12]
АР + РАТ - ВВТ + еРРТ РЯ Л , 0 ЯР -е^ ^ 0"
Любое решение Р >- 0 полученного неравенства дает эллипсоид
Е = {х € Мга: хТР-1х ^ /}
Заметим, что неравенство хТР-1х ^ / представимо в виде, линейном по переменной Р:
л х I >- 0 х Р 1 ^
Поэтому в качестве искомой выпуклой оценки А^ множества притяжения для системы (4) будем рассматривать совокупность точек ж, для каждой из которых разрешима задача допустимости
/АР + РАТ - ВВТ + еРРт РНЛ ^ 0 ^ ЯР -е/ ^ ^ 0
(Ж?) > 0
относительно матричной переменной Р = Рт €
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.