Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006
РАС Б 45.80.—г
© 2006 г. Л.В. РАПОПОРТ, д-р физ.-мат. наук (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕСНЫМ РОБОТОМ1
Исследуется задача синтеза закона управления плоским движением колесного робота. Математическая модель колесного робота учитывает кинематические соотношения между скоростью заданной точки шасси, называемой целевой точкой. ориентацией шасси и управлением. В число кинематических соотношений входит требование движения каждого из четырех колес без проскальзывания. Задние колеса являются ведущими, в то время как передние колеса отвечают за поворот шасси. Цель управления состоит в выведении целевой точки па предписанную траекторию и стабилизации движения целевой точки по предписанной траектории. Траектория состоит из сегментов прямых и сегментов окружностей. В исследуемой математической модели колесного робота в качестве управления рассматривается текущая кривизна траектории целевой точки, которая связана с углом поворота передних колес простым алгебраическим соотношением. Управление подчинено двусторонним ограничениям в силу ограниченности угла поворота передних колес. Для предложенного закона управления исследуется область притяжения в пространстве "расстояние до траектории ориентация". Для начальных условий, принадлежащих данной области, гарантируется выход па траекторию с заданным показателем экспоненциальной устойчивости.
1. Введение
Модель колесного робота представлена на рис. 1. Движение предполагается двумерным, ориентация платформы робота определяется одним углом. Символ X = = (х,у)т будет использоваться для обозначения точки плоскости, векторы считаются столбцами и символ т обозначает транспонирование. Целевая точка находится в середине задней оси платформы робота и имеет координаты Хс = (хс, ус)т. Ориентация робота в случае плоского движения определяется одним углом в, об-
х
момент времени имеет текущую угловую скорость вращения в. Обозначим через Х^, г = 1,..., 4, мгновенные положения концов осей колес. Условие движения каждого из четырех колес без проскальзывания означает, что векторы мгновенных скоростей VI, г = 1,..., 4, концов осей колес коллинеарны плоскостям колес и нормали к каждому из этих векторов пересекаются в общей точке Хо, см. рис. 2. Точка Х0, положение которой зависит от времени, представляет собой мгновенный общий центр кривизны траекторий всех четырех колес. Кроме того, должны выполняться соот-
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (04-01-00391а) и комплексной программы Президиума РАН (19-1.5).
ношения
(1) И = т||/||Х1 - Хо|| = ш/\\х2 - Хо|| = = ||^||/||Хз - Хо| = \\УА\\/\\ХА - Хо|.
Здесь и далее || . || обозначает эвклидову норму вектора.
Два задних колеса являются ведущими, а два передних отвечают за поворот платформы. Если платформа робота движется по прямой, то центр кривизны нахо-
Рис. 1. Кинематическая схема колесного робота.
х
Рис. 2. Движение без бокового проскальзывания колес.
дится в бесконечно удаленной точке и выражение (1) дает нулевую величину угловой скорости.
При движении без проскальзывания соотношение |в| = ||V||/||Х — Х0||, подобное (1), выполняется для любой точки X платформы. При этом величина ||Х — Хо|| есть мгновенный радиус кривизны траектории точки X, а величина 1/||Х — Хо||, обратная радиусу, есть кривизна траектории. Обозначим через u мгновенное значение кривизны траектории, которую описывает целевая точка. Тогда радиус кривизны траектории целевой точки равен ||Х — Xc|| = 1/u. Пусть L - это расстояние между осями передних и задних колес, a, H - это расстояние между передними колесами. Тогда 1/u — H/2 = L/ tga\, 1/u + H/2 = L/ tga2 или
uL uL
(2) T—^H^ = tg ai' TT^2 = tg a2-
u
в целевой точке и углами поворота передних колес. Для реализации данной мгновенной кривизны траектории целевой точки передние колеса должны быть повернуты на углы, определенные соотношениями (2). Эти соотношения получены с использованном схемы, изображенной на рис. 2, где платформа робота поворачивается налево. Эти же соотношения верны и при повороте направо. При этом нужно иметь в виду, что положительное направление отсчета углов совпадает с направлением против
u
u
поворота колес и кривизной траектории в целевой точке делает возможным упростить модель и выбрать величину u в качестве управления. Обозначив vc = || Vc|| при движении вперед и vc = — ||Vc|| при движении задним ходом, получаем уравнения движения робота
Xc = vc cos в,
(3) Vc = Vc sin в, в = vcu.
Ограничения на угол поворота колес накладывают двусторонние ограничения на величину кривизны траектории:
(4) —и ^ и ^ и.
Выражение для величины и легко получается из величины максимального угла поворота ведущего колеса в сторону желаемого поворота. Принимая во внимание (4), перепишем уравнения движения (3) в виде
хс = vc cos
(5) Ус = vc sin 1
0 = = VcSu(u
где su(u) есть функция насыщения:
{—u при u ^ —u, u при |u| < u, U при u ^ u.
Задача управления колесным роботом, подобная рассматриваемой в данной работе, не нова. Этой задаче посвящена обширная литература. Во многих работах (см. [1 6]
и цитируемую в них литературу) решается задача синтеза управления, позволяющего стабилизировать движение по отрезку прямой или стабилизировать движение к заданной точке плоскости. При этом управление может быть непрерывным [3] или разрывным [6]. В данной работе рассматривается задача синтеза управления с учетом его ограниченности. Ограниченность управления не позволяет добиться гарантированной скорости убывания нормы отклонения от предписанной траектории для произвольного начального положения целевой точки и ориентации платформы робота. Для заданной нормы отклонения оценивается область начальных условий, для которой синтезированное управление гарантирует заданную скорость ее экспоненциального убывания. Траектория предполагается состоящей из отрезков прямых и сегментов окружностей. Данный способ параметризации траекторий отвечает наиболее часто встречаемому в сельскохозяйственных приложениях движению трактора по параллельным бороздам, покрывающим обрабатываемое поле. Сегменты окружностей отвечают развороту трактора в конце борозды. Обсуждается метод вывода робота из произвольной начальной точки и произвольной ориентации в данную область, при попадании в которую начинает работать синтезированный закон управления.
2. Синтез управления движением мобильного робота
Отдельно рассматривается синтез управления для случаев, когда желаемая траектория представляет собой отрезок прямой и сегмент окружности.
2.1. Случай движения по отрезку прямой
Отрезок прямой задается начальной точкой Xb и конечной точкой Xe = Xb. Направляющий вектор определяется выражением l = (Xe — Xb)/(||Xe — Xb||) = = (lx,ly)T, а нормальный вектор, указывающий налево, определяется выражением n = (—ly, lx)T. С помощью замены переменных
(7) Xc = Xb + £l + nn, в = ф + arctg ly/lx задача (5) сводится к задаче
£ = vc cos ф,
(8) n = vc sin ф,
ф = VcSu(u).
В новых переменных цель управления состоит в обеспечении n ^ 0. Именно эта задача рассматривается в данном разделе. Сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Линейная скорость платформы vc(t) положительна, отделена от нуля
(9) Vc(t) > vo > 0
и удовлетворяет условиям существования решения системы дифференциальны,:!; уравнений (8) в смысле Каратеодори.
Предположение 2. На траекториях управляемой системы (8) выполняется соотношение
(10) cos ф(г) > £ > 0.
Предположение 2 будет в дальнейшем снято. Сделаем замену переменных ¿1 = £, = п ¿з = tg ф и заменим производную по времени 4 на производную по переменной £ (см. [5]). Переменная ¿1 = £ отвечает проекции целевой точки па заданную траекторию, а переменная ¿2 = п соответствует боковому отклонению целевой точки платформы робота от заданной траектории. В силу первого из уравнений (8) и предположений 1 и 2 переменная £ меняется монотонно. Обозначим штрихом производную по переменной £ и перепишем (8) в виде
¿1 = 1,
/
(И) ¿2 = ¿3,
¿3 = и (1
г3 ) 2
В последнем уравнении двусторонние ограничения на управление временно сняты. Выбор управления и в виде
2А^з + А2^
(12) и =--з—
(1 + ¿3)2
при А > 0 дает
(13) ¿2' + 2А4 + А2£2 =0.
Из (13) следует экспоненциальная скорость убывания величин ¿2 = п и ¿3 = tg ф с показателем —А. Однако управление вида (12) не удовлетворяет, вообще говоря, двусторонним ограничениям (4). С другой стороны, выбор управления в виде
!лл\ 2А^3 + А2 ¿2
(14) и = — вй -3"
V (1+¿3)2
может не обеспечить экспоненциальной скорости убывания ¿2 и ¿3 с показателем —А. Введем следующее определение.
Определение 1. Вектор-функция ¿(£) называется убывающей с экспоненциальной скоростью —/л при £ > 0, если найдется такая квадратичная функция вида
(15) V (¿) = ,гтР,г,
где матрица Р > 0, что выполняется неравенство
(16) ^(¿£(£)) + 2^(*(£)) < 0, £ > 0.
На рис. 3 изображены графики переменных ¿2 (£) для случая А = 1 и и = 0,1 при различных начальных значениях ¿3(0) = tg(ф(0)). Из поведения графиков видно, что скорость убывания величины ¿2 (£) зависит от начальных условий и не является
—А
свойства системы (11) при законе управления вида (14). Обозначим (17) а = 2А^3 + А2 ¿2
и перепишем последнее уравнение системы (11) в виде
о 3 (1 + ¿1)2.
(1 + ¿3)2 '
0,8
0,4
0
-0,4
-0,8
-1,2
Рис. 3. Расстояние до желаемой траектории при различных значениях угла ф(0) в начальный момент. По оси абсцисс отложено по оси ординат отложено ¿2 = П-
Обозначим
(18) Ф(*з,ст) = «и-^ (1 + ¿3)2
\(1 + ¿3) у
и заметим, что
(19) = I
Наша цель состоит в исследовании вопроса о том, при каких начальных условиях (¿2(0), ¿з(0))т закон управления (14) обеспечивает экспоненциальное убывание величин (¿2, ¿3)т та траекториях системы (11) со скоростью —где 0 < ^ ^ Л. Для оценки этой области начальных условий, которую будем обозначать как О(^), рассмотрим функцию Ляпунова вида (15) и будем искать оценку области О(^) в виде
(20) По(а) = {(¿2,^з)т : V(¿) < а2} .
Будем искать матрицу ква
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.