Автоматика и телемеханика, № 1, 2015
© 2015 г. А.Н. КВИТКО, д-р физ.-мат. наук (alkvit46@mail.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет)
РЕШЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Предложены достаточно удобные для численной реализации алгоритмы построения дифференцируемых управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса нелинейных и квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений из начального состояния в произвольную точку фазового пространства. Получены конструктивные достаточные условия, наложенные на правую часть управляемой системы, при которых возможен указанный перевод. Рассмотрена задача межорбитального перелета и проведено ее численное моделирование.
1. Введение и постановка основной и вспомогательных задач
Одной из проблем математической теории управления являются вопросы, связанные с разработкой точных или приближенных методов построения управляющих функций и соответствующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве. Этим исследованиям посвящено большое количество публикаций. Некоторые из них приведены в [1—11]. В настоящее время проблема решения граничных задач достаточно подробно изучена для линейных и нелинейных управляемых систем специального вида. Однако теория решения указанных задач для нелинейных управляемых систем общего вида еще недостаточно разработана. Основные усилия автора данной статьи направлены на разработку удобного для численной реализации и устойчивого к погрешностям вычислений алгоритма решения глобальных граничных задач для широкого класса нелинейных управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в классе дифференцируемых управлений и нахождение конструктивных достаточных условий, гарантирующих существование решения указанных задач. Поставленная цель достигнута сведением решения исходной задачи к решению некоторого числа задач стабилизации линейных нестационарных систем специального вида и решению задач Коши для вспомогательных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае квазилинейных систем количество вспомогательных задач, необходимых для решения основной задачи, равно единице. Эффективность полученного алгоритма иллюстрируется на численном моделировании конкретной практической задачи.
Объектом исследования является управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений:
(1.1)
X = /(х, и, ¿),
где x = (x1,... , xn)T, x € Rn; u = (u1,... , ur)T, u € Rr, r ^ n, t € [0,1];
(1.2) f € C3(Rn x Rr x R1; Rn), f = (f 1,...,/n)T,
(1.3) f (0, 0,t) = 0.
Предположим дополнительно, что V x1 €Rn задан путь w(t)€C([0,1]; Rn), удовлетворяющий условиям
(1.4) w(0)=0 и w(1) = x1 и такой, что
(1.5) rank (B(t),A(t)B(t),A2(t)B(t),..., An-1(t)B(t)) = n Vt € [0, 1],
Не умоляя общности, можно считать, что w(t) = w(t') при t = t'.
Основная задача. Найти пару функций x(t) € C 1[0,1], u(t) € C 1[0,1], удовлетворяющих системе (1.1) и условиям
(1.6) x(0) = 0, u(0) = 0 и x(1) = x1, x1 = (x1,...,xn)T.
В (1.4) и (1.6) x1 € Rn - заданный вектор. Указанную пару x(t), u(t) будем называть решением задачи (1.1), (1.6).
Теорема 1. Пусть для правой части системы (1.1) выполнены условия (1.2), (1.3), (1.5). Тогда Vx1 € Rn существует решение задачи (1.1),
(1.6), которое может быть получено после решения конечного числа задач стабилизации линейных нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами и решения такого же числа задач Коши для вспомогательных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Замечание 1. Пусть Vm € Rn и Vt € [0, 1] выполнено условие:
(1.7) rank (B(t, m), A(t, m)B(t, m), A2(t, m)B(t, m),..., An-1(t, m)B(t, m))=n,
df df Ait,m) = -¿-(mt,0,t), Bit,m) = -¿-(mt,0,t). dx du
Если Vx1 € Rn ив качестве w(t) выбрать w(t) = mt, где m = x1, то из теоремы 1 вытекает следствие.
Следствие. Пусть для правой части системы (1.1) выполнены условия (1.2), (1.3), и (1.7). Тогда справедливо утверждение теоремы 1.
Замечание 2. Пусть система (1.1) имеет вид
(1.8) x = P (t)x + Q(t)u + f (t) + ^g(x, u, t), где
x € Rn, u € Rr, r ^ n,
/- Pnxn
(t) € C2[0,1], Qnxr(t) € C2[0,1], t € [0,1],
(1.9) 1 1 1
f (t) € C [0,1], ^ € R1, g € C (Rn x Rr x R1 x R1; Rn),
P (t) = {Pij (t)}, i,j = 1,..., n; Q(t) = (t)}, i = 1,...,n, j = 1,...,r.
C помощью рассуждений, приведенных при решении задачи 1, может быть доказана теорема 2.
Теорема 2. Пусть для системы (1.8) выполнены условия (1.9) и
(1.10) rank (Q(1), P(1)Q(1),P2(1)Q(1),..., Pn-1(1)Q(1)) = n. Тогда V x1 € Rn существует ^o(x1) > 0 такое, что для всех ц
(1.11) |ц| <Цо
существует 'решение задачи (1.8), (1.6), которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы с экспоненциальными коэффициентами и последующим решением задачи Кошу, для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Доказательства теорем 1 и 2 вынесены в Приложение. Главная идея доказательства теоремы 1 состоит в том, что решение исходной глобальной граничной задачи сводится к решению локальных граничных задач. Для каждой локальной задачи ищется управляющая функция, при которой решение системы (1.1) соединяет точки, принадлежащие graph w(t), t € € [0,1]. На заключительном этапе на основе свойств компактности graph w(t) и равномерной непрерывности w(t) доказывается, что эта процедура может быть продолжена на весь промежуток [0, 1]. Пусть (x1, t1) € graph w(t), X1 = (x1,..., ХП)Т.
Задача 1. Найти пару функций x1(t), u1(t), удовлетворяющих системе (1.1) и условиям
(1.12) x1(0)=0, U1(0)=0, x1(t1) = xb
Указанную пару будем называть решением задачи (1.1), (1.12). Ниже будут найдены условия выбора x1 и t1.
Задача 2. Найти функции x2(t) € C 1[t1,t2], u2(t) € C 1[t1,t2], удовлетворяющие системе (1.1) и условиям
(1.13) x2(t1) = xb U2(t1) = 0, x2(t2) = x2 = w(t2),
т.е. (x2,t2) € graphw(t), t € [t1,1], t2 € (t1,1]. В (1.13) x2 и t2 подлежат определению.
2. Решение вспомогательной задачи 1
Пусть (x1,t1) € graphw(t). Используя свойство (1.2) и разложение правой части системы (1.1) в ряд Тейлора в окрестности точки (x1,t1) € graphw(t),
ж1 = (ж},..., хП)т, ее можно записать в виде:
п
•<• ^ттгг-п.')./,)(,•' -'-О-
—г, II /, г'
_ дж-7
(2.1) г .
Г дГг
+ ^ -^-(жь О, + П\(х, и, + 0, г = 1,..., тг;
¿_1 и
Л* 1 2
пп
д2 Г ъ
^2 ъ п Г ^2 -¿"Ъ
+Е Е + Е Е *)(** -
п ^2 -Р ъ Г ^2 ъ
+ Е й' " " + Е й' "
о3 г о3 -ръ
д Гъ 1 д2 Гъ
ж = ж1 + 0ъ(ж — ж1), и = ■£ = ¿1 + — ¿1); € (0,1),
ж = ж1 + 0ъ(ж — ж1), и = (9ъ € (0,1); г = 1,...,п.
Замечание 3. Два последних слагаемых в и последнее слагаемое Л2 появились в результате представления
1 д2 /ъ - 1 д2 /ъ _ _ - 1 д2 /ъ
Л* Е ^" *!) + ^ Е
Функцию ж1 , входящую в решение задачи 1, ищем в виде
(2.2) ж!(£) = а!(г)+ ж1, г = 1,...,п.
После подстановки (2.2) в (2.1) получим систему, которую запишем в векторном виде:
(2.3) а 1 = + + Л1(а1, и, ¿) + Л2(ж1,0, ¿),
= = ^-(Ж1,0,*1), г,;) = 1,... ,тг;
= {(?}}, (?;. = ^-(ж1,0^1), / 1.....//: ./ 1.....Г:
= (^1,..., Лп)Т, -Л = (^2,..., )Т, а1 = (а1,..., ап)т.
Г Г
Рассмотрим граничные условия
(2.4) а1(0) = -Хь и(0)=0, а1(Ь) — 0 при í —
Пару функций а^Ь) € С 1[0,1], и(Ь) € С 1[0,1], удовлетворяющую системе (2.3) и условиям (2.4), будем называть решением задачи (2.3), (2.4). Имея решение задачи (2.3), (2.4), с помощью (2.2) и предельного перехода можно получить решение задачи (1.1), (1.12). Сделаем в системе (2.3) преобразование независимой переменной Ь на т:
Ь = ¿1(1 - е-ат), т € [0, +то),
где а > 0 - некоторое фиксированное число. Тогда система (2.3) и условия (2.4) с новой независимой переменной примут вид
, „ ^ = ае~ат 1\Р\С1 + ае^Ч&хй + ос^Ё^а, й, т)е~аг +
(2.5) ат
+ а*1Д2(Х1,0, т )е-ат;
(2.6) С1(т) = а1(Ь(т)), а(т)= и(Ь(т)), т € [0, +то); С1 = (с1,..., сП)Т, Ё1(с1 ,а,т) = Й1(а1(Ь(т)), и(Ь(т)), ¿(т)), ^(Хъ0,т) = ^(Хъ0,Ь(т)),
(2.7) С1(0) = -Х1, а(0)=0, С1(т) — 0 при т -то.
Будем искать пару функций с1(т), ^т), удовлетворяющую системе (2.5) и условиям (2.7). Указанную пару функций будем называть решением задачи (2.5), (2.7). Имея решение задачи (2.5), (2.7), с помощью (2.6) можно получить решение задачи (2.3), (2.4). Для решения задачи (2.5), (2.7) введем новую управляющую функцию и(т), связанную с ^т) уравнением
(2.8) ^¡11 = ае-атЬь, V = (У1 ,... ,Уг)т, V € Кг.
ат
Рассмотрим систему
(2.9) ^ = ае~атР\С1 + аеГ^С^ь + а^Ё^с 1,т)е~аг + а1гЁ2(хь 0, т)е~аг, ат
¿1^1, ^ _ ( Оз
Р п О 02 ) +, «1 п + , с"1 = (с1,а^,
\ 1 2 / п+гхп+г \ 1 гхг / п+гхг
где О/, I = 1, 2, 3, - матрицы с нулевыми элементами размерностей г х п, г х г, п х г соответственно, Егхг - единичная матрица размерности г х г,
= (^Л 0, . . . , 0)Т+гх1; ^2 = ° ..., 0)Т+гх 1.
Система (2.9) получена в результате присоединения системы (2.8) к системе (2.5). Будем искать пару функций с1(т), и(с1,т), удовлетворяющую системе (2.9) и условиям
(2.10) с1(0)=с0, с0 = (—Х1,0), с1(т) — 0 при т — то.
Указанную пару С1(т), и(т) будем называть решением задачи (2.9), (2.10).
Если пара функций С1(т), и( с 1,т) удовлетворяет системе (2.9) и граничным условиям (2.10), то функция С1(т) = ( с 1(т),й(т)) является решением задачи (2.5), (2.7). Для решения задачи (2.9), (2.10) наряду с системой (2.9) рассмотрим систему
(2.11) ^ = схе~ат Р\С\ + ае-^ЯгУ.
ат
Из условия (1.5) следует управляемость системы (2.11). Используя алгоритм, полученный в Приложении, найдем управление и( с 1,т) вида
(2.12) и( С1,т )= М1(т) С1,
обеспечивающее экспоненциальную устойчивость системе (2.11). Если подставить (2.12) в правую часть системы (2.11), то для фундаментальной матрицы полученной системы $1(т), $1(0) = Е (Е - единичная матрица), имеет место оценка
||Ф1(т)|| < К(¿1,Ж1)в-Лт, Л> 0.
Рассмотрим систему (2.9), замкнутую управлением (2.12) . Эту систему можно записать в виде:
а 1
(2.13) = А\(т)с1 + д1{с1}т) + #2 (со, т). Здесь
А1(т) = ае-ат Р1 + ае-ат ^М^т); #1( с 1, т) = ае-ат ¿1^1( с 1, т), со,т) = ае-ат со,т).
Из условий (1.2) и (1.3) следует, что в области
(2.14) ||ж(*)|| < ||и(^)| < í € [0,1], где N = тах |||, справедливы оценки:
(2.15) |Ысо,т)| < Т(со)е-ат, |Ысь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.