Автоматика и телемеханика, № 3, 2015
Заметки, хроника, информация
РЕЦЕНЗИЯ на книгу: ПОЛЯК Б.Т., ХЛЕБНИКОВ М.В., ЩЕРБАКОВ П.С. «УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ПРИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ: ТЕХНИКА ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ» М.: ЛЕНАНД, 2014, 560 с.
Книга вышла в 2014 г. в научном издательстве URSS. Издательская группа URSS специализируется на выпуске научной и учебной литературы, ее девиз — сохранять, развивать и приумножать научное наследие. Авторы книги — известные российские ученые, сотрудники Института проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН.
В книге излагается одно из современных направлений в области исследований по математической теории управления. Основное внимание уделяется в ней проблеме подавления внешних возмущений, действующих на управляемую систему в процессе ее функционирования. Много места отводится и проблеме робастности, т.е. задаче управления в условиях системных неопределенностей. Как правило, рассматриваются и непрерывные, и дискретные линейные системы. Системы нестационарные и системы стохастические авторы предпочли не включать в книгу, чтобы, по-видимому, не увеличивать и без того большой, 553 с., объем монографии.
Следует сразу же обратить внимание читателя на принятую в книге модель внешних возмущений. Авторами "облюбован" класс детерминированных ограниченных возмущений, т.е. функций времени, ограниченных в L^-норме. Говоря конкретнее, возмущение w принимает значения w(t) € Rm, ограниченные в некоторой норме (например, евклидовой) пространства Rm. Такие возмущения w образуют нормированное пространство Lœ с нормой ||w||^). Они интересны как в теоретическом, так и в прикладном плане. Ограниченные возмущения встречаются в приложениях чаще, чем другие, класс Lœ гораздо богаче класса L2 функций, интегрируемых с квадратом. В теоретическом плане анализ систем с Lœ-возмущениями порождает новое направление в теории управления. В самом деле, известная H^-теория Зеймса предполагает, что возмущения w принадлежат классу L2, и потому теория, развиваемая при L^-возмущениях, является иной, чем H^-теория. Во всяком случае, теория систем с ограниченными возмущениями существенно отличается от H^-теории и, возможно, поэтому задаче собственно H^-оптимизации авторы уделяют всего лишь несколько страниц (в разделе 2.5.2). Эти замечания сделаны для того, чтобы читатель не искал в книге того чего в ней нет и не заблуждался относительно общей направленности теории, в ней развиваемой.
Проблема оптимального подавления неслучайных ограниченных внешних возмущений имеет почти полувековую историю. Впервые, по-видимому, она была сформулирована в работах Е.Д. Якубович в 60-х гг. прошлого века. Начальный этап решения этой проблемы, известный как Li-оптимизация, сталкивался со сложностями аналитического характера и приводил к ряду недостатков синтезируемых регуляторов. В целом, отмечают авторы во введении, подавление неслучайных возмущений традиционно считается трудной задачей теории управления.
Иной подход к названной проблеме основан на понятиях множеств достижимости и аппроксимирующих их инвариантных множеств. Среди последних наиболее простую структуру имеют эллипсоидальные множества, они напрямую связаны с квадратичными формами Ляпунова, а эти, в свою очередь, — с линейными матричными неравенствами (LMI в западной литературе) как техническим средством описания множеств и с аппаратом полуопределенного программирования (SDP). Систематическим применением названных понятий и технических средств для оптимального подавления L^-ограниченных возмущений в непрерывных и дискретных динамических системах читатели обязаны исключительно авторам настоящей монографии. Простая и вместе с тем мощная техника LMI, популярная в H^-теории для подавления L2-возмущений, перенесена авторами на более широкий класс L^-возмущений. Заинтересованный читатель найдет в книге многочисленные примеры реализации LMI- и SDP-процедур с использованием специализированных программных пакетов в системе Matlab.
Переходя к изложению распределения по главам решаемых в книге задач, назовем еще раз трех "китов", на которых покоится представленное теоретическое сооружение. Авторы отмечают их в предисловии. Это квадратичные функции Ляпунова, линейные матричные неравенства, инвариантные эллипсоиды.
Книга содержит 7 глав, а также предисловие, введение, и список обозначений. После основной части следуют приложение, библиографический комментарий, список литературы из 228 названий (из них 126 — на русском языке) и предметный указатель. Изложим содержание материала книги и его распределение по главам.
Глава 1. Здесь даются описание линейных систем управления в пространстве состояний, виды управления, понятия управляемости и наблюдаемости. Тема устойчивости излагается на языке квадратичных функций Ляпунова, уравнений и неравенств Ляпунова. Важной задачей является описание множества возможных состояний, в которых линейная система может оказаться при действии на нее возмущений класса L^. Это так называемые достижимые множества. Чтобы дать читателю почувствовать специфику L^-тео-рии, дается сравнение достижимых множеств для возмущений классов L2 и L^. Задача аппроксимации достижимых множеств эллипсоидальными откладывается до гл. 3.
Неизвестные внешние возмущения — лишь один из источников неопределенности в описании систем. Другой источник — системная неопределенность, обусловленная неизвестными возмущениями матричных коэффици-
ентов в уравнениях динамики. Для систем с системной неопределенностью определены фундаментальные понятия робастной системы, робастной устойчивости и робастного управления.
Глава 2. В этой главе находим изложение алгебраического аппарата линейных матричных неравенств, основные понятия и определения этой теории (второго "кита" монографии). LMI-аппарат является, по существу, основным при изложении всего материала книги. Здесь же находим оптимизационный аспект LMI-теории — задачу минимизации линейной функции при LMI-ограничениях. Это и есть задача полуопределенного программирования (SDP-задача). Как отмечается в подразделе 2.1, спецификой задачи SDP в сравнении с общей задачей минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве является вид ограничений, a именно: LMI-ограничения представляют довольно широкий класс выпуклых множеств. Например, ограничения в задаче линейного программирования и ограничения на H^-норму могут формулироваться как LMI-ограничения. Согласно тексту в книге "SDP-за-дача является основным форматом, к которому приводятся задачи подавления возмущений, фильтрации вектора состояния, минимизации целевой функции". После такого приведения становится возможным применять затем аппарат инвариантных эллипсоидов (об этом речь в гл. 3) и технику LMI.
В подразделе 2.2 приведены и другие технические средства, позволяющие сводить задачи к формату SDP. Таковыми называются лемма Шура, использование эквивалентности двух форм записи неравенства Ляпунова, приведение неравенства ||F(x)||2 ^ 1, где F(x) — аффинная матричнозначная функция переменной x, к линейному относительно x матричному неравенству.
Еще одна задача, имеющая формат SDP, изложена в подразделе 2.2.2. Это задача минимизации размера (объема) эллипсоида по различным критериям; например, по критерию следа матрицы, задающей эллипсоид. Известная S-процедура наряду с леммой Шура доставляет важное средство при доказательстве утверждений в последующих гл. 3-5. Также лемма Пи-терсена и ее обобщения находят важное применение при анализе робастной устойчивости систем со структурированной матричной неопределенностью. Наконец, в небольшом подразделе 2.5.2 показано, как LMI-техника решает задачу H^-оптимизации системы при ¿2-возмущениях. Если G(s) — передаточная функция линейной системы и w — возмущение, то H^-норма ||G(s)||^ равна sup ||G(s)w||2, если ||w||2 ^ 1. При нахождении супремума используется
w
LMI-техника. В конце подраздела отмечается, что та же техника и тот же метод лежат в основе более общих постановок задачи H^-оптимизации, при этом идейная сторона нахождения решения мало изменяется. В частности, робастные версии задачи также решаются этими средствами. Авторы, исходя из опыта практического применения LMI-техники к решению оптимизационных задач, отмечают, что "LMI-способ вычисления H^-нормы передаточной функции исключительно численно устойчив и дает точный результат при численной реализации".
Главы 1 и 2, содержащие основные понятия и результаты теории линейных систем и теории LMI, используемые повсеместно в последующих гла-
вах, можно считать первой частью книги. Второй частью естественно назвать гл. 3-5.
Глава 3. В гл. 3 вводится важнейшее понятие инвариантного эллипсоида. Как уже отмечалось, инвариантный эллипсоид аппроксимирует множество достижимости системы, подверженной действию возмущений класса L^. Инвариантным назван эллипсоид (с центром в нуле) £, если из условия x(0) £ £ следует x(t) £ £ для всех t ^ 0 и всех w £ L^. Рассматривается в основном регулярный случай, когда £ ограничен (матрица эллипсоида невырождена) и имеет полную размерность, совпадающую с размерностью фазового пространства системы. Согласно следствию 3.1.1 £ является притягивающим множеством, т.е. любая траектория, начинаясь даже вне £, при t ^ то бесконечно близко подходит к его границе (или попадает внутрь при некотором конечном t).
Критерий инвариантности эллипсоида x'P-1x ^ 1, P > 0, для системы x = Ax + Dw, ||w|| ^ 1 дается теоремой 3.1.1, согласно которой матрица Р должна удовлетворять LMI вида АР + РА' + аР + ^DD' ^ 0, Р > 0 при некотором вещественном а > 0. Вне эллипсоида, задаваемого матрицей Q = P-1, функция V (x) = x'Qx, Q > 0 является функцией Ляпунова для возмущенной системы. Соответственно инвариантный эллипсоид является притягивающим множеством.
Эллипсоиды могут оценивать не только множества значений вектора состояния системы, но и множества значений ее выходных сигналов. В последнем случае эллипсоид называется ограничивающим для выхода. Оптимизацию системы осуществляют отысканием эллипсоида, минимального в смысле некоторого критерия его размера (следа, например). Для нахож
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.