Автоматика и телемеханика, № 2, 2015
© 2015 г. А.Г. МАЗКО, д-р физ.-мат. наук (mazko@imath.kiev.ua) (Институт математики НАН Украины, Киев)
РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Разрабатываются новые методы анализа робастной устойчивости состояний равновесия и оптимизации нелинейных систем управления с обратной связью. Для семейства нелинейных систем с неопределенными матрицами коэффициентов и обратной связи по измеряемому выходу формулируются достаточные условия устойчивости нулевого состояния с общей квадратичной функцией Ляпунова. Предлагается решение общей задачи робастной стабилизации и оценки квадратичного критерия качества семейства нелинейных систем. Приводится пример системы стабилизации однозвенного робота-манипулятора.
1. Введение
В прикладных задачах анализа и синтеза реальных объектов используются системы дифференциальных и разностных уравнений с неопределенными параметрами и функциональной структурой (см., например, [1-3]). Так, нулевое решение х = 0 системы дифференциальных уравнений с параметрической неопределенностью
(1.1) х = /(х,р,г), /(о,р,г) = о, х е мп, р еР, г ^ о,
называется робастно устойчивым относительно заданного множества параметров Р С М^, если оно устойчиво по Ляпунову при всех фиксированных р е Р .В качестве множества Р параметрической неопределенности системы (1.1) используются интервалы, политопы, аффинные семейства матриц и др. При описании неопределенностей и условий робастной устойчивости систем в полуупорядоченных пространствах могут быть использованы конусные неравенства и интервалы [4, 5]. В многочисленных работах в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН) получены достаточные условия устойчивости линейных управляемых систем с неопределенными матрицами коэффициентов и обратной связи по измеряемому выходу. С обзором задач и известных методов анализа робастной устойчивости и стабилизации систем управления с обратной связью можно ознакомиться в [6, 7].
Данная работа посвящена разработке новых методов анализа робастной устойчивости состояний равновесия и оптимизации класса нелинейных многомерных систем управления с обратной связью по выходу. Предполагается, что измеряемый вектор выхода содержит компоненты как состояния системы, так и управления. Рассматриваемые нелинейные системы в силу их векторно-матричного представления иногда называют псевдолинейными. К векторно-матричной форме приводятся, например, нелинейные уравнения движения
некоторых робототехнических и маятниковых систем, летательных аппаратов и др.
С использованием результатов работ [3, 8] формулируются достаточные условия устойчивости нулевого состояния семейства систем управления с неопределенными матрицами коэффициентов и статической обратной связи по измеряемому выходу. При этом определяются общая функция Ляпунова и оценка квадратичного функционала качества. В результате предлагаются способы оптимизации рассматриваемого семейства систем. Применение полученных результатов сводится к решению систем дифференциальных или алгебраических ЛМН. Для решения ЛМН с постоянными матрицами может быть использована достаточно эффективная процедура в системе Матьав.
2. Обозначения и вспомогательные утверждения
Будем использовать следующие обозначения: In - единичная n х n-мат-рица; X = XT > 0 0) - положительно (неотрицательно) определенная симметричная матрица X; i(X) = {i+(X),i- (X),io(X)} - инерция матрицы X = XT, состоящая из количеств ее положительных, отрицательных и нулевых собственных значений с учетом кратностей; Amax(X) (Amin(X)) - максимальное (минимальное) собственное значение матрицы X; ct(A) (p(A)) -спектр (спектральный радиус) матрицы A, ||x|| - эвклидова норма вектора ж; Со{Аь ..., Av] = [А = Y!i=i aiAi ■ > 0, г = 1, v, yh=i Щ = l} - выпуклый многогранник (политоп) с вершинами Ai,..., Av в пространстве матриц.
Рассмотрим линейную систему управления
(2.1) x = Ax + Bu, y = Cx + Du, u = Ky,
где x € Rn, u € Rm и y € R1 — векторы соответственно состояния, управления и наблюдаемого выхода объекта, A, B, C и D — постоянные матрицы соответствующих размеров n х n, n х m, l х n и l х m, причем, rank B = = m и rank C = l. Блок-схема системы приведена на рис. 1. Ее особенностью является возможность использования измерений линейных комбинаций как вектора состояния системы, так и управления.
D
-1 x
■г>-1
u
x
i
Рис. 1. Блок-схема системы управления.
Введем на множестве матриц Кд = {К : (1еЛ(1т — КБ) = 0} нелинейный оператор
V : Rmx1 ^ Rmxl, V(K) = (1т — КБ)-1 К.
Для каждой матрицы обратной связи К* е Кд замкнутая система (2.1) имеет вид
(2.2) X = М*х, М* = А + В Р(К*)С.
Приведем без доказательства свойства оператора Р
1) если К е , то
(2.3) Р(К) = К[I + )] = К(/г - )-1, I + ) = (I - )-1;
2) если К1 еКв и Кз = (/т - К^)-1К2 е Кд, то
(2.4) К1 + К2 еКв, Р(К1 + К2) =Р(К1)+ Р(Кз)[/г + ^Р(К1)|;
3) если К е , то
(2.5) К* = -Р(К) е Кд, Р(К*) = -К.
Согласно (2.5) для достижения желаемых свойств и, в частности, устойчивости системы (2.2) достаточно обеспечить эти свойства системе с матрицей М* = А - ВКС.
Определим для матриц В и С, имеющих полный ранг соответственно по столбцам и строкам, ортогональные дополнения и псевдообратные матрицы: ВтВЧ = 0, ёе! [В, ВЧ] = 0, СЧСт = 0, ёе! [Ст, С±т] =0, В+ = (ВТВ)-1Вт, С + = СТ(ССт)-1. Следующее утверждение, доказательство которого приведено в Приложении, дает методику размещения спектра матрицы М* = А -- ВКС с определенными свойствами относительно прямой И,е Л = а, Л е С1.
Лемма 1. Существует матрица К, для которой спектр а(М*) состоит из р и д точек в соответствующих полуплоскостях И,е Л < а и И,е Л > а, в том и только в том случае, когда разрешима относительно Х = Хт система соотношений
(2.6) 5 = В±тЬВЧ < 0, ¿(X)= {р, д, 0}, ¿(Я) = {1,т, 0}, Н =
где Ь = АХ + ХАт - 2аХ, Н0 = В+(Ь - ЬЕЬ)В+т, Н1 = СХ(/„ - ЕЬ)В+т, Н2 = -СХЕХСт, Е = ВЧ5-1ВЧт. При условиях (2.6) матрица К может быть найдена путем решения одного из эквивалентных матричных неравенств
(2.7) У = Я0 - КЯ1 - НтКт + КЯ2Кт < 0,
(2.8) У = Ь - ВКСХ - ХСтКтВт < 0.
В частности, если в соотношениях (2.6), (2.7) Х = Хт > 0 и а ^ 0, то вещественные части всех точек спектра а(М*) отрицательны.
Отметим, что линейное относительно К неравенство (2.8) выполняется, если
(2.9) К = ВтХ-1С+, АХ + ХАт - 2аХ < 2 ВВт, (С+С - /га)Х-1В = 0,
Н0 Н1т Н1 Н2
а для выполнения квадратичного относительно К неравенства (2.7) достаточно, чтобы
(2.10) К = 7ВТХ-1С+, 7 > Атах(Но)/2, С±Х-1В = 0,
причем последние равенства в (2.9) и (2.10) эквивалентны. С учетом (2.5), (2.6) и (2.10) при а ^ 0 имеем достаточные условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость системы (2.2):
X = Xт > 0, Вхт(АХ + ХАТ — 2аХ) Вх < 0, СхХ-1В = 0,
К* = ^(К), К = 7ВТХ-1С+ еКв, 7 > Атах(Но)/2.
Сформулируем вспомогательное утверждение, которое будет использовано при получении основных результатов. Рассмотрим нелинейный оператор
Т(К) = W + иTV(K+ VTVT(K)и + УТVT(K) К V(K
и эллипсоидальное множество матриц
(2.11) К = {К € Rmx1 : КТРК < д},
где Р = РТ > 0, д = дТ > 0, К = КТ ^ 0, W = WТ < 0, и, V и Б - матрицы подходящих размеров. В силу эквивалентности матричных неравенств [9]
ктрк < д,
Р -1
к т
К
^ 0,
кд-1кТ < р-1,
множество (2.11) можно описать также в виде К = {К € Rmx1 : Кд-1КТ ^ ^ Р-1}. При этом в случае т = 1 эллипсоид К описывается с помощью скалярного неравенства.
Лемма 2. Пусть выполняются матричные неравенства
w иТ VТ
(2.12)
БТ^Б + К<Р, 0 =
и К — Р БТ
V
б —д
-1
< 0 (< 0).
Тогда Т(К) ^ 0 (< 0) для любой матрицы К € К.
Доказательство леммы 2 изложено в Приложении.
Отметим, что лемма 2 является обобщением утверждения достаточности известного критерия, получившего название леммы Питерсена о матричной неопределенности [10] (см. также [11]). Согласно [10], для любой матрицы К € Rm'x1 с ограниченной нормой ||К|| = (Атах(КТК))1/2 ^ 1 выполняется матричное неравенство Т(К) = W + иTKV + VТКТи < 0 в том и только в том случае, когда существует е > 0 такое, что W + е-1иТи + еVTV < 0. Последнее соотношение можно представить в блочном виде
иТ VT
0 =
w
и —е/„
0
V
0 —е-1/.
< 0,
а требование ||К|| ^ 1 выполняется, если КТК ^ /,. Полагая в лемме 2 Б = 0, К = 0, Р = е/т и д = е/, где е > 0 — некоторое число, имеем утверждение достаточности леммы Питерсена.
3. Робастная стабилизация нелинейных систем управления
Рассмотрим нелинейную систему управления в векторно-матричной форме
(3.1) х = А(х,г) х + В(х,г) и, у = С(х,г) х + Б(х,г) и, г ^ 0,
где х е Мп, и е Мт и у е М1 — векторы состояния, управления и наблюдаемого выхода объекта. Управление системой будем осуществлять с помощью обратной связи по выходу:
(3.2) и = К(х,г) у, К(х,г) = К*(х,г) + К(х,г), К(х,г) еК,
где К — эллипсоидальное множество матриц вида (2.11) в пространстве Мтх1, определяемое симметричными положительно определенными матрицами Р и Зависимость от х и г рассматриваемых матриц А, В, С, Б, К* и К будем считать непрерывной и для простоты не указывать. Матрицы Р и Q считаем постоянными, хотя в дальнейших выкладках они также могут быть функциями х и г.
Согласно (2.11), (3.1) и (3.2) должно выполняться неравенство
[хт,ит]
С^С - СтКтРК*С С^Б + СтКтРС Б^С + СтРК*С А
х
и
^ 0,
где А = Бт^Б - СтРС, С = 1т - К*Б. Предположим, что (3.3) А(х,г) < 0, х е 50, г ^ 0,
где 50 = {х е Мп : ||х|| ^ Л,} — окрестность точки х = 0. Тогда из х = 0 следует и = 0, и х = 0 является состоянием равновесия системы. В дальнейшем предполагается, что данное состояние равновесия является изолированным, т.е. окрестность 50 не содержит других состояний равновесия системы.
Задача состоит в построении условий, при которых нулевое состояние замкнутой системы управления (3.1), (3.2) асимптотически устойчиво по Ляпунову для любой матрицы К е К. Матрица К* выбирается с целью стабилизации, например, в том случае, когда нулевое состояние системы без управления (и = 0) неустойчиво. При нахождении стабилизирующей матрицы К* для класса линейных автономных систем (2.1) можно использовать лемму 1 и ее частные случаи (см. также [3, 6, 7]).
При усло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.