Автоматика и телемеханика, № 3, 2015
Робастные и адаптивные системы
( 2015 г. И.Б. ФУРТАТ, канд. техн. наук (cainenash@mail.ru) (Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Университет ИТМО, Санкт-Петербург)
РОБАСТНЫЙ СТАТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ1
Предложен робастный статический алгоритм управления линейными объектами в условиях параметрической и структурной неопределенности и внешнего неконтролируемого возмущения. Полученный алгоритм обеспечивает слежение выхода объекта за эталонным сигналом с требуемой точностью. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность алгоритма.
1. Введение
Проектирование простых схем управления в условии неопределенности и измерения только выхода объекта — актуальная задача современной теории и практики автоматического регулирования. Для построения таких схем управления эффективны способы адаптивного и робастного управления, где на сегодняшний день предложено достаточно много решений. Если относительная степень объекта больше единицы, то для реализации адаптивных и робастных систем управления необходимы оценки производных входа и выхода объекта, для получения которых, как правило, используются различные динамические наблюдатели.
Для оценки вектора состояния модели объекта с известными параметрами при отсутствии внешнего возмущения широко используется наблюдатель Люенбергера [1]. В [2] предложен фильтр Калмана оценивающий вектор состояния динамической системы при использовании ряда неполных и зашум-ленных измерений. В условиях параметрической неопределенности модели объекта и наличия внешних возмущений в [3] был предложен робастный наблюдатель с большим коэффициентом усиления (high-gain observer). Другой вид наблюдателя с большим коэффициентом усиления позже был рассмотрен в [4]. В [5, 6] предложен робастный наблюдатель на скользящем режиме (sliding-mode observer). В [7] разработан нелинейный наблюдатель расширенного состояния (nonlinear extended state observer), основанный на обобщении
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-08-01183, 13-08-01014, 12-01-00808), программы ОЭММПУ РАН "Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровнего, интеллектуального и сетевого управления в условиях неопределенности" № 14, государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-U01) и Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 14.Z50.31.0031).
наблюдателя с большим коэффициентом усиления и наблюдателя на скользящем режиме. В [8] представлен обзор наблюдателей [1, 3, 5-7], примеры расчета и реализации для динамической системы второго порядка, а также приведен сравнительный анализ для каждого наблюдателя при различных видах неопределенностей (параметрическая неопределенность, внешние возмущения и шумы).
Робастные наблюдатели [1, 3-7] нашли широкое применение при синтезе систем управления в условиях неопределенности. Например, в [9] строится закон управления с оценкой производных выхода объекта, которые реализуются с помощью динамического наблюдателя на скользящем режиме [5, 6], где порядок наблюдателя равен размерности вектора состояния модели объекта. В [10] для синтеза системы стабилизации нелинейных динамических объектов используется закон управления, зависящий от оценок производных выхода объекта, которые получены с помощью динамического наблюдателя с большим коэффициентом усиления [3] и порядком, равным размерности вектора состояния модели. В [4] синтезируется робастный закон управления по ошибке слежения, где для оценки производных сигнала ошибки слежения используется наблюдатель с динамическим порядком, равным 7 — 1, где 7 -относительная степень объекта управления. В [11] синтезирована робастная система управления с компенсацией внутренних и внешних возмущений с использованием вспомогательного контура. Для оценки производных сигнала, несущего в себе информацию о возмущениях объекта, в [11] используется динамический наблюдатель [3], порядок которого равен 7 — 1.
Анализ работ [3-11] показал, что разработчики стремятся получить как простые в расчете регуляторы, так и регуляторы с невысоким динамическим порядком. Причем при управлении объектами с 7 > 1 еще не получены регуляторы, у которых динамический порядок был бы меньше 7 — 1. Данная статья посвящена построению простого регулятора, не содержащего динамических составляющих.
В статье рассматривается построение робастной системы управления по выходу линейными динамическими объектами в условиях параметрической и структурной неопределенности и действия внешних ограниченных возмущений. Для оценки производных в системе управления используется наблюдатель, основанный на левых разностях. Такой подход позволяет исключить использование интегрирующих звеньев в наблюдателе, что делает его статическим. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность алгоритма.
2. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением
(1) Q(p)y(t) = кЯ(р)п(г) + / (*), ргу( 0)= уаг, г = 0,1 ,...,п — 1,
где у(Ь) € К -регулируемая переменная, и(£) € К -сигнал управления, / (¿) € € К - внешнее неконтролируемое ограниченное возмущение, Q('p), К(р) -линейные дифференциальные операторы с неизвестными коэффициентами,
deg ф(р) = п, deg Я(р) = т, к > 0, р = й/^^ - оператор дифференцирования, Уог - неизвестные начальные условия.
При решении задачи на объект управления наложены следующие ограничения.
Предположения А
А1. Неизвестные коэффициенты операторов ф(р), Я(р) и число k > 0 принадлежат известному ограниченному множеству возможных значений 2. А2. Многочлен Я(А) гурвицев, где Л - комплексная переменная. А3. В объекте управления доступны измерению сигналы и(£) и у(£), но не их производные.
Требуется спроектировать непрерывную систему управления, обеспечивающую слежение выхода объекта у(£) за эталонным сигналом ут(£) так, чтобы было выполнено целевое условие
(2) Ш - Ут(*)| при *>Т,
где Ут(^) - гладкая функция, ограниченная вместе со своими производными, £ > 0, Т > 0 - время, начиная с которого должно быть выполнено целевое условие (2).
3. Управление структурно определенными объектами
Сначала рассмотрим случай, когда порядки операторов ф(р), Я(р) известны. Принимая во внимание уравнения (1) и (2), сформируем ошибку слежения е(£) = у(£) - ут(£) в виде
(3) 3(р)е(*) = кД(рМ*) + f (*) - д(р)ут(^).
Из постановки задачи производные у(£) и и(£) не доступны измерению (предположение А3), тогда зададим закон управления в форме
7
(4) и(*) = —а^^ё® (¿),
г=0
где а > 0, коэффициенты выбираются так, чтобы полином
^(А) = А7 + ^7-1Л7-1 + ... + ^1А + был гурвицев, 7 = п — т - относительная степень объекта управления, ё(г)(£), г = 0,1,..., 7 - оценка г-й производной сигнала ё(£). Следует отметить, что закон управления вида (4) использовался, например, в [4,10]. Последующий синтез системы управления в [4,10] осуществлялся с помощью динамических наблюдателей производных. В данной статье для дальнейшего синтеза системы управления будет использоваться алгоритм с использованием нединамического наблюдателя. Подставим (4) в (3) и перепишем (3) в виде
(5) ^ (р)ё(*)=т
где
Р (р) = Я(р) + акК(р)Б(р),
т = /(¿) - Q(p)ym(í) + акЯ(р) D(p)e(í) - ^ ^е« (¿) .
е(0(
i=0
Поскольку известно множество ^ (предположение А1), то всегда существуют число а и полином ^(Л) такие, что полином Р(Л) будет гурвицевым. Для реализации закона управления (4) воспользуемся выражениями
(6) н
(2) _ ёУю-^а-н) ,7) _ ёП-Ую-ёП-Уд-н)
е V)- ]г , ..., е щ- ]г
Очевидно, что с помощью уравнений (6) можно оценить производные сигнала е(£) с использованием левых разностей. Подставив (6) в (4), получим систему управления, представленную уравнением
(7) и(*) = -а]Т
i=0
в i 3=0
Из уравнения (7) видно, что в отличие от [1-11] регулятор (7) не содержит динамических составляющих.
Перепишем функцию в виде суммы = акК(р)д(1) + где
¥>(*) = /(¿) - Я(р)Ут(г), д(£) = Я(р)е(*) - £7=0 вё%). Тогда уравнение (5) можно представить в виде
(8) ¿(¿) = + акБ^г) + £2^), е(£) =
где А, В1, В2 и Ь - матрицы, полученные при переходе от (5) к (8). Сформулируем утверждение, при выполнении условий которого закон управления (7) обеспечивает выполнение цели управления (2).
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений А. Существуют числа а > 0 и Н > 0 такие, что Ш > 0 и > 0, где
1 в
]¥ = <5 - 2акРВ2рТ + 2акРВгЬ ^ 77 ~ ^ + ^ Х-Р-В^^Р -
Ь?
i=0
- 0,57 (7 + 1) Ь,
= I - 2акх'1 >0, г = 1,..., 7, 3 Р = Рт > 0,
- решение уравнения АТР + РА = —<5, = ЯТ > 0, к ^ к, р - вектор, составленный из коэффициентов многочлена Д(А)£)(А), _Й(А) - многочлен с
4 Автоматика и телемеханика, № 3 97
наименьшими коэффициентами полинома Я(А), 1 > 0, х > 0 - достаточно малое число. Тогда система управления, представленная законом управления (7), обеспечивает выполнение целевого условия (2) и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе.
Доказательство утверждения 1 приведено в Приложении.
4. Управление структурно неопределенными объектами
Теперь рассмотрим случай, когда порядки операторов ф(р) и Я(р) неизвестны. Для решения задачи на объект управления (1) дополнительно к предположениям А наложим следующее ограничение.
Предположение В. Известна верхняя оценка 7 относительной степени 7, т.е. 7 ^ 7.
Цель управления состоит в выполнении условия (2).
Принимая во внимание уравнения (1) и (2), сформируем ошибку слежения е(£) = у(£) — Ут(£) в виде (3). Зададим закон управления
7
(9) и(*) = —
¿=0
где коэффициенты ..., выбираются так, чтобы полином ^(А) =
= А7 + ^7-1А7-1 +... + ^1А + ^о был гурвицев. Подставив (9) в (3), получим уравнение вида (5). Очевидно, что всегда существует а и ^(А) такие, что ^(А) будет гурвицевым.
Для оценки производных сигнала е(£) воспользуемся следующими уравнениями:
(10) е(;£) = еф, е(1) (*) =
ё(£) - ё(£ - кф) кф
¿УЮ-^Нг-т (7) _ е^-1^)-^-1^-у»)
е Ш ~ к21г ' • • •' е ^ ~ Щ1г
Здесь е(г) (¿), г = 0,1,..., 7, - оценка г-й производной сигнала е(£), к1 > к2 > ... .
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.