Автоматика и телемеханика, № 1, 2015
© 2015 г. А.М. ЦИРЛИН, д-р техн. наук (tsirlin@sarc.botik.ru) (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский)
СЕГРЕГИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ, МОДЕЛИ И УПРАВЛЕНИЕ1
Рассмотрены математические модели и оптимальное управление системами, состоящими из большого числа агрегатов, взаимодействующих с однородной средой. Получены условия оптимальности. Развит структурный подход к расчету плотностей распределения времени пребывания агрегатов в системе.
1. Введение
Важный класс управляемых систем представляют собой макросистемы, состоящие из большого числа элементарных подсистем, каждая из которых индивидуально не управляема и не наблюдаема. Воздействовать на эти системы и проследить их реакцию на эти воздействия можно лишь на макроуровне, измеряя их усредненные характеристики (см. [1, 2]). Частным случаем макросистем являются системы с сегрегацией.
Сегрегированными называют системы, состоящие из большого числа агрегатов, взаимодействующих друг с другом через однородную среду, состояние которой усредненно зависит от состояния агрегатов. Примерами сегрегированных систем физико-химической природы являются процессы кристаллизации и растворения, сушки и грануляции, процессы биосинтеза, выращивания растений, рыб и животных и др. (см. [3]).
Сегрегированные модели адекватны системам социально-экономической природы, в которых множество элементарных экономических агентов (ячеек) формируют общую нормативно-законодательную и ценовую среду. Состояние среды усредненно зависит от взаимодействия с ячейками.
Математической особенностью моделей сегрегированных систем является наличие усреднения в правых частях дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию состояния среды, а также то обстоятельство, что управляющие воздействия могут быть приложены только к среде, изменяя условия, общие для всех агрегатов. Как для всех макросистем, каждым из агрегатов в системах с сегрегацией нельзя управлять и нет возможности измерять его состояние.
2. Системы, изолированные по агрегатам
2.1. Модель системы
Обозначим через x и y векторы состояния агрегата и среды соответственно. Эволюция состояния агрегата определяется его уравнением кинетики
(2.1) x(t, 7) = f(x(t, 7), y(t)), х(0,7) = xob).
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-06-00161а).
Здесь y — случайный параметр с плотностью распределения вероятностей P(y), t — время пребывания агрегатов в системе. Таким образом, состояние x(t, y) случайно для любого момента t. Одной из составляющих вектора y является начальное значение вектора состояния агрегата.
Состояние среды в каждый момент времени изменяется в соответствии с уравнением
(2.2) у = <p(y,x(t, 7))7 + д(у, t) = j <р(у, x(t, -<))PWl + 9(У, t), 3/(0) = у0.
Здесь через <p(y,x(t, 7))7 обозначено среднее по 7 значение функции
Если система управляема, то управляющие воздействия u(t) входят только в правые части уравнений (2.2). Они примут форму
(2.3) у = <р(у,и,ж) + у(0) = Уо, и € V«,
где множество V« допустимых управлений определено ограничениями, наложенными на них в каждый момент времени или на интервале управления [0,т]. Первое слагаемое в правой части (2.3) характеризует кинетику взаимодействия с агрегатами, а второе — внешние воздействия на состояние среды.
2.2. Задачи управления и условия оптимальности Запишем критерий оптимальности как: т
(2.4) уо(Т) = у |^о(у,и,ж) + до(у,и,^ ^ ^ тах, уо(0) = 0.
о
К такой форме может быть приведен широкий класс критериев оптимальности введением соответствующих переменных.
Будем предполагать, что для любого Ь € [0, т] множество V« замкнуто и ограничено. При получении необходимых условий оптимальности используем принцип максимума для вариационных задач со скалярным аргументом в форме [4]. Согласно предложенному в [4] формализму, каждому из условий задачи ставится в соответствие слагаемое в подынтегральном выражении К обобщенного функционала Лагранжа, а переменные задачи по определенному правилу разбиваются на две группы. По переменным первой группы функция К на оптимальном решении достигает максимума, а по переменным второй группы — стационарна.
В предположении невырожденного решения функция К (подынтегральное выражение обобщенного функционала Лагранжа) для задачи (2.1), (2.3) и (2.4) имеет вид
(2.5)
К = ^|[^о(у,и,ж(Ь,7)) + £<р(у,и,ж(Ь,7))] +
+ ^(7,^)/(х(Ь,7),У) + ^(7,*)ж(Ь,7)}Р 0)^Л + 0о(у,и,Ь) + £д(у,и,Ь) +
Здесь интеграл берется по области определения плотности распределения Р(7). К переменным первой группы относятся управления и,(Ь), а ко второй группе — переменные, характеризующие состояния среды и агрегатов.
Если в задаче подлежат выбору параметры а, неизменные на интервале (0, т), то интеграл 5 от функции К на этом интервале должен быть локально неулучшаем на множестве Уа допустимых значений параметров.
Необходимые условия оптимальности задачи (2.1), (2.2), (2.4), сформулированные через функцию К, примут форму:
(2.6) п*(г) = ащшах К(и,,у*(Ь),х*(Ь,^)),
П&Уи
. _ дК дК
Ш) = ШЩт) =
Для сокращения записи введем обозначение
(2.8) Н = <ро(у,и,х)+ &(у,и,х) + до(у,п,г)+ £д(у,и,г) и с учетом (2.5) перепишем условия (2.6), (2.7) в форме
(2.9) u*(t)=argшax Н (у,и,х),
П&Уи
д
(2.10) С = Н(у,и,х(1П)) + ф(1П)/(х(1П),у)'
ду
(2 ^ ^ = д[<рр(у,и,х) + и, х) + ¡(х(1,7),
дх(1,7)
(2.12) С(т )= ФЬ,т )=0 Здесь
(2.13) ф,! (х(1П ),у)' = ! -ф(1,1)! (х(1,1),у)Р Шч.
3. Оистемы, открытые по агрегатам. Стационарный режим
В открытой системе происходит обмен с окружением не только потоками, влияющими на состояние среды, но и потоками агрегатов. Будем рассматривать только стационарный режим таких систем, в котором состояние среды и распределения случайных величин, влияющих на состояние агрегатов, не зависят от календарного времени.
3.1. Математическая модель
В статическом режиме состояние среды у постоянно и равно состоянию на выходе из системы, так как среда однородна. Состояние агрегата изменяется с его возрастом т% — временем, прошедшим от попадания агрегата в систему до текущего момента времени, так что
Их
(3.1) = ,тг),у), х(0)=хоЬ).
В ряде случаев удается получить решение уравнений (3.1) в форме (3.2) X = ж(7,Тг,у),
что позволяет существенно упростить решение задачи оптимизации системы. Решение (3.2) называют кинетической кривой.
Возраст агрегата — случайная величина. Будем предполагать, что он не зависит от вектора 7, а его плотность распределения обозначим через ^(т^). Другим случайным параметром агрегата является время пребывания в системе Tf, его иногда называют временем жизни агрегата. Время пребывания случайно, его плотность распределения обозначим через ). Далее покажем, что плотности распределения возраста и времени пребывания связаны друг с другом.
Состояние среды определяется усредненными условиями вида
(3.3) <р(у, и, ж(7, т ))7'Тг = д(у, и),
где и — вектор управляющих воздействий, а черта означает усреднение по т^, 7 в соответствии с плотностями распределения Р1(тг) и ^3(7). В частности, правая часть равенства (3.3) может быть равна -^-(у — уо), где V — объем системы, д — расход среды, являющийся одним из управлений.
Размерность вектор-функции ^ совпадает с размерностью вектора у, функции / и ^ непрерывные и непрерывно дифференцируемые по совокупности своих аргументов, как и функция, определяющая критерий оптимальности
(3.4) ^>0(y,u, ж(т/)) ' — max.
ueVu
В число управлений могут входить и параметры, определяющие форму функций распределения возраста и времени пребывания агрегатов.
3.2. Оптимизация статического режима систем с сегрегацией
Обобщенная функция Лагранжа для задачи (3.1)-(3.4) примет форму (для невырожденного решения Ao = 1):
(3.5)
+
R = <Po{y,u,x{r/,Tf)) + А <р{у,и,х{7,Тг))7'Гг - д{у, и)
-YTi
+
(Щътг) ^ ^ + ^ Тг)/(ж(7, Ti),y)
Здесь Р1(тг) и Р2(тf) связаны друг с другом равенством (4.3), полученным в разделе 4. Переменные первой группы в этой задаче отсутствуют. Необходимые условия оптимальности [5] запишутся в виде:
(о Г \ 9Е п 9КЯ ^П 9К П
(3.6 — = 0, —ди < О, — = 0,
дх ди ду
где ¿и — допустимая вариация управлений с учетом наложенных на них ограничений и € V«.
Для функции Л, имеющей форму (3.5), условия (3.6) примут вид:
(3.7)
(3.8)
^^ д
¿г = ~дх МЧ'^^Я'У) + Х(Р(У,и,х)\
^(7, г/) =
д
дж(7, т/)
<ро(у,и,ж).
¿и
А
ди
^>о(у, и, ж(7, т))Р2(т) + Л^>(у, и, ж(7, т))р (т)'
^т < 0,
(3.9)
д_
ду
^>о(у, и, ж(7, т ))Р2 (т) + Л^>(у, и, ж(7, т)) +
+ ^(7,т)/(х(т ),у)р (т)
^т = 0.
Эти условия совместно с уравнениями (3.1) и усредненными условиями (3.3) определяют векторы и, у, Л и функции ж(7, т) и ^(7, т).
Условия оптимальности существенно упрощаются, если удается получить кинетическую кривую ж(7, т^, у). В этом случае задача приводится к виду:
(3.10)
(3.11)
«-у "7-/»
/ = <^о(ж(7,т,у),«,у) ' ^ тах
7 = у?(ж(7,т,у),и,у)7'Тг - д{у, и) = 0.
Здесь усреднение производится по т, но для функционала / с распределением Р2 времени пребывания агрегатов, а для функции ^ — с распределением Р1 возраста агрегатов.
Необходимые условия оптимальности для непрерывно-дифференцируемых по у, и функций ^>о и ^ сводятся к тому, что найдется такой ненулевой вектор Л = (Ло, Л1,...), что на оптимальном решении функционал Лагранжа Б = Ло/ + Л7 стационарен по у и локально неулучшаем по и € Р^:
д
(3.12) у?о(ж(7, т, у), и, у)7'Т/ + Н<РЫг/,т,у),и,у) "" - д{у,и))
(3.13)
д дх д дх ду ду /
^о(ж(7,т,у),г/,,у)-т'Т/ + \{<р{х{г/,т,у),и,у) "" - д{у,и))
1,п
¿и ^ 0,
0.
Если функции распределения зависят от параметров, подлежащих выбору, то это нужно учесть в условиях оптимальности.
Пример 1. Оптимальный выбор среднего времени пребывания агрегатов в системе.
Пусть система однородна как по среде, так и по агрегатам. Кинетическая кривая
(3.14) 114
х(т, у) = т2е ут,
эс
X
плотности распределения:
(3.15) Р1(т,@) = Р2(т,@) = ^е-т/&.
Критерий оптимальности
те
(зле) 1 = Ь / 0)ж(т'уЛ>г1т шах'
о
те
(3.17) 3 = у Рг(т, в)[у - х(т, у)] (т = 0, в ^ 0.
о
Выбору подлежит среднее время В = пребывания агрегатов в системе.
Условия оптимальн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.