Автоматика и телемеханика, № 5, 2015
© 2015 г. А.Г. АЛЕКСАНДРОВ, д-р физ.-мат. наук (alex7@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПО ПОКАЗАТЕЛЯМ ТОЧНОСТИ И БЫСТРОДЕЙСТВИЮ. I. МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ОБЪЕКТЫ
Предлагается метод синтеза регуляторов одномерных, минимально-фазовых объектов при неизвестных ограниченных внешних возмущениях. Метод основан на определении параметров тождества Безу, при которых обеспечивается заданная точность регулирования и быстродействие.
1. Введение
Системы автоматического управления характеризуются показателями, основными из которых служат точность, быстродействие, перерегулирование, запасы устойчивости по фазе и модулю. Первым методом синтеза по этим показателям систем стал метод логарифмических амплитудно-частотных характеристик (метод ЛАЧХ) [1, 2] для одномерных объектов (объектов с одной измеряемой и одной управляющей переменными).
Развитие этого метода для многомерных объектов оказалось затруднительным. Методы LQ- и ^^-оптимизации [3-6] не связаны с числом измеряемых и управляющих переменных, и поэтому были исследованы показатели оптимальных систем. В частности, установлены их запасы устойчивости [7, 8], получена связь точности регулирования со структурой и параметрами функционалов оптимизации и на этой основе были разработаны методы [9] синтеза регуляторов многомерных объектов по заданной точности и необходимым запасам устойчивости.
Быстродействие является важным показателем систем регулирования. Метод синтеза регуляторов по точности и быстродействию для минимально-фазовых одномерных объектов предложен в [10]. Метод основан на решении тождества Безу, правая часть которого является устойчивой частью полинома для экстремалей специального функционала, который обеспечивает запасы устойчивости системы, ее точность и быстродействие.
В настоящей статье предлагается способ формирования правой части тождества Безу, в котором исключена операция определения корней указанного полинома. Последнее особенно существенно в многомерном случае, рассматриваемом во второй части статьи, где синтез регулятора по требованиям точности, быстродействия и запасам устойчивости осуществляется на основе матричного тождества Безу. Решение этого тождества состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений в отличие от [11, 10], где аналогичная задача сводится к решению нелинейного алгебраического уравнения Риккати либо к задаче ^^-оптимизации, решение которой осуществляется на основе линейных матричных неравенств.
Методам подавления внешних возмущений посвящена книга [12], где находится регулятор, обеспечивающий заданную границу квадратичной формы регулируемых переменных. Коэффициенты этой квадратичной формы являются наилучшими в некотором смысле. Метод учитывает ограничения на управления и влияние начальных условий.
2. Постановка задачи
2.1. Показатели точности и быстродействия
Рассмотрим асимптотически устойчивую систему управления, описываемую уравнениями
dn y(n) + dn-iy(n-1) + ... + diy + doy = kmu(m) + ... ... + k1U + k0u + cpf(p) + ... + c1f + c0f, m < n, p < n, t0 ^ t ^ t1, (2) gncu(nc) + ... + g1U + gou = rmcy(mc) + ... + ny + roy, nc ^ mc,
где y(t) - измеряемый выход объекта (1), являющийся регулируемой переменной, u(t) - управление, формируемое регулятором (2), f (t) - неизвестное, ограниченное известным числом f * внешнее возмущение. Начальные условия для этой системы нулевые:
y(to) = y(to) = ... = y(n-1) (to) = 0, u(to) = u(to) = ... = u(nc-1) (to) = 0,
to и t1 - заданные числа.
Уточним вид внешнего возмущения. Разобьем интервал работы системы на N подынтервалов, каждый длительностью h = , и используя существование чисел f(kh) = f(k), k = 1,N, разложим f(k) в ряд Фурье
N
f{k) = + <pf4), k = l,N,
i=1
где /¿, г = 1, N - коэффициенты ряда Фурье, и)г = г = 1, N. Далее полагаем, что внешнее возмущение - полигармоническая функция
N
(з) /= ^ ь + Фи)
г=1
с неизвестными частотами и фазами , г = , а ее неизвестные амплитуды удовлетворяют условию
N
(4) ЕШ < f*.
г=1
Выход системы у(Ь) состоит из двух процессов: рабочего (основного) процесса — Уъ(Ъ) и переходного (к рабочему) — у4г(¿),
У(*) = Уъ (*) + Угт
Рабочий процесс имеет вид
N
(5) yb(í) = ^ a(w¿) sin(w¿í + ^j),
i=0
где a(u)i) и ipi, г = 1,N — амплитуды и фазы выхода системы.
Если внешнее возмущение (3) состоит из одной или нескольких действительно существующих гармоник, то процесс (5) называют установившимся процессом. В рассматриваемом случае такие гармоники могут отсутствовать (например, f(t) - линейная функция либо экспонента) и частоты ол, г = 1,N, — это результат разложения в ряд Фурье почти произвольного внешнего возмущения (эти частоты зависят от выбора длины интервалов [to,ti] и h). Поэтому будем использовать понятие рабочего процесса.
Введем понятия показателей системы (1), (2), которые являются обобщением известных показателей [1, 2] для типовых задающих воздействий.
Точность регулирования — это наименьшее положительное число y? такое, что ошибка регулирования удовлетворяет условию
|yb(t)| < У?, to < t < ti.
Из-за переходного процесса, вызванного начальными условиями и начальным значением внешнего возмущения, выход системы может превышать значение Уа
sup |y(t)| >y6a.
io^i^il
Длительность и относительная величина превышения числа y^ характеризуются временем регулирования и перерегулированием.
Время регулирования — это наименьшее время tper, когда выполняется неравенство
|y(t) - yb(t)| < е, t ^ tper,
где е - заданное положительное число.
Для единичного ступенчатого либо гармонического задающего воздействия принято [1, 2] значение е = 0,05 sup |y(t)|.
to <t<tl
Перерегулирование есть
sup |y(t)| - sup |y,(t)| a =-¡—7ТТ|--100%.
sup |yb(t)|
íü^í^íi
Запасы устойчивости по фазе (<^з) и модулю (L) [1, 2] системы (1), (2) находятся путем приложения к объекту (1) вместо управления сигнала (— sin wt) и измерения выхода регулятора u = a(w) sin(wt + <^(w)). С использованием функции a(w) и <^(w) находятся запасы устойчивости.
При таком их определении система может терять устойчивость из-за ее размыкания, и поэтому для определения запасов устойчивости используют радиус запасов устойчивости [9]
(6) га ='щ{
где = 1 + = 1 + ад(^ш) — функция возвратной разности (в
которой ад(^ш) - передаточная функция разомкнутой системы), которая находится экспериментально, без размыкания системы. Если га ^ 0,75, то <£>з ^ 42°, Ь ^ 1,7, а при га ^ 1, ^ 60°, Ь ^ 2,0.
З а дач а 2.1 состоит в нахождении для заданного полностью управляемого и полностью наблюдаемого объекта (1) регулятора (2), обеспечивающего выполнение требований к:
• точности
(7) |у^)| < у*,
качеству
(8) ¿рег < ¿Рег, а < а*,
• запасам устойчивости
(9) Га ^ Г*,
где у*, ¿рег, а*, г* — заданные положительные числа.
Примечание 2.1. В действительности требования к показателям системы выражаются неравенствами
(10)
ауУ* < |У(^)| < ^ а4^рег < ¿рег < ^ ааа* ^ а ^ а*, агг* ^ Га ^ г*,
где ау, а^, аст и аг — заданные положительные числа (ау < 1, а^ < 1, аст < 1 и аг < 1), выражающие допуски на отклонения от чисел у*, ¿рег, а* и Дело в том, что при условиях (7)-(9) может случиться так, что в результате расчета будет получен регулятор (2), обеспечивающий ошибку регулирования (при внешнем возмущении, близком к границе /*) в несколько раз меньше величины у*. Тогда для получения такой точности требуется более точная, чем необходимо, аппаратура для измерения функции у(£).
Ситуация с быстродействием аналогична: если время регулирования в несколько раз меньше требуемой величины ¿рег, то это приводит к динамической перегрузке исполнительных органов, плохой помехозащищенности системы и т. п. Изложенное далее построено исходя из целей (7)-(9), однако оно часто может быть развито для случая (10).
2.2. Редукция .задачи
Преобразуя уравнения (1), (2) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем их как
(11) Ф)у = ад« + Ф)/,
(12) 5(в)и = ф)у,
где
d(s) = di^, k(s) = J] g(s) = ^ gis4, i=0 i=0 i=0 mc p
r(s) = ris4, c(s) = ^2 cisi-
i=0 i=0
Выразим требования (7)-(9), используя передаточную функцию системы и ее характеристический полином.
Передаточная функция системы ty/ (s), связывающая выход с внешним возмущением, имеет вид
П^ / М -
U J yf{ > ~ d(s)g(s) - k(s)r(s)-
Требование (7) к точности выполняется, если
у*
(14) sup \tyf(juj)\^^-.
f
Действительно, выход системы (1), (2) при возмущении (3) имеет вид (5). Учитывая ограничения (4), запишем
|yb(t)| |°(wi)| ^ Е |tyf (M)||/i| <
i=0 i=0 те
< suP |ty/(jW)^|/i| = f * sup |tyf(jW)| < y*
0<ш<те „ 0<ш<те
г=0
Из последнего неравенства следует выражение (14). Характеристический полином системы имеет вид
= ^(5)0(5) - к(«)г(«).
Полагая далее пс = п, упорядочим модули вещественных частей корней г = 1,'2п этого полинома:
|ReSs,i| ^ |ReSs,2| ^ • • • ^ |ResS)2n|.
Время регулирования будем характеризовать числом
¿рег = в|Ке
где в — положительное число; в = 3, если |И,е 1 и модули вещественных частей корней полиномов $(в) и с(в) в передаточной функции (13) достаточно велики по сравнению с числом |И,е в8д|.
Будем полагать, что требование (8) к времени регулирования выполнено, если
(15) |Ие вм| ^ в^р-г1-Запишем выражение (6) более подробно как
Г2 = п^ |1+ ,
где
к(з)ф)
Будем полагать, что система обладает запасами устойчивости, если
(16) Га ^ га,
где, в частности, Г* = 0,75. Рассмотрим тождество Безу
(17) Ф)у(в) - Л(в)ф) = ^(в),
где ^(в) — полином степени 2п, корни которого имеют отрицательные вещественные части.
При условии deg ^(в) = п, deg Г(в) = п — 1 это тождество имеет единственное решение для полиномов $(в) и Г(в) регулятора, которое находится как решение системы линейных алгебраических уравнений, получающихся после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях в в левой и правой частях тождества [13].
Задача 2.2 состоит в том, чтобы найти коэффициенты полинома правой части тождества (17) такие, чтобы система (1), (2) удовлетворяла условиям (14), (15), (16).
Решение задачи 2.2 существенно зависит от свойств полинома к(в) объек
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.