Автоматика и телемеханика, № 5, 2015
© 2015 г. А.О. ПОЗНЯК, д-р техн. наук (apoznyak@ctrl.cinvestav.mx) (Исследовательский центр CINVESTAV, Мехико, Мексика)
СИНТЕЗ РОБАСТНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫМ И КВАНТОВАННЫМ ВЫХОДОМ: МЕТОД ПРИТЯГИВАЮЩИХ ЭЛЛИПСОИДОВ
Для широкого класса нелинейных систем, содержащих внутренние неопределенности и подверженных внешним ограниченным возмущениям, предложена техника синтеза робастной обратной связи. Класс стабилизирующих динамических обратных связей заданной линейной структуры характеризуется соответствующими билинейными матричными неравенствами (BMI), которые могут быть сведены к системе линейных матричных неравенств (LMI). Оптимальные параметры регуляторов находятся из решения задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных неравенств. Такие задачи оптимизации решаются средствами стандартных пакетов Matlab. Численные примеры иллюстрируют состоятельность предложенного подхода.
1. Введение
Под воздействием возникающих приложений в сетевых системах управления [1-3] сообщество управленцев стало свидетелем возобновившегося интереса к явлениям, присущим цифровой реализации систем управления в непрерывном времени, а именно к дискретизации и квантованию. Основными направлениями исследований в этой области являются теоретико-информационные аспекты (такие как емкость канала) задач сетевого управления с привлечением теории, которая проводит параллель со знаменитой математической теорией коммуникаций [4]. В этом направлении получены интересные результаты. Теперь возможно, например, связать абсолютное значение неустойчивых собственных значений системы и минимальную емкость канала, требуемую для стабилизации [5-7]. Безусловно представляя огромный теоретический интерес, большинство этих результатов пока ограничены случаем линейных систем. Постановка задачи дается в стохастическом виде, и акцент делается на кодировании и декодировании канала связи (см. схему кодирования в [8]).
С другой стороны, квантование можно рассматривать либо как детерминированный шум, либо как детерминированное возмущение в зависимости от того, влияет квантование на управление или на выход. Подходы робастного управления, такие как [9] или секторные ограничения [10], могут помочь справиться с задачей квантования. Но опять же большинство результатов, использующих эти подходы, относятся к линейным системам. В данной работе рассматривается подход к проблеме квантования, использующий метод инвариантного эллипсоида [11-16]. Это позволяет построить закон динамической обратной связи для класса нелинейных систем, удовлетворяющих квази-липшицевому условию [17-18]. На самом деле, этот класс систем достаточно
широк, поскольку включает системы со сложными или даже разрывными нелинейностями.
Рассматриваются статические, не зависящие от времени квантователи. В силу своей независимости от физической природы, требуемый квантователь имеет бесконечное число уровней квантования, и вместо асимптотической устойчивости достигается практическая устойчивость (см. [19] для конечного динамического квантователя, достигающего асимптотической устойчивости). Метод инвариантного эллипсоида дает оцененную область сходимости в форме эллипсоида. С использованием численных методов регулятор выбирается из четких критериев: минимизировать «размер» такого эллипсоида.
При работе с задачей дискретизации обычно предполагается, что система уже в дискретной форме. Здесь не делаем такого предположения, а в духе [20, 21] рассматриваем непрерывные системы; к задаче дискретизации подходим с точки зрения систем с запаздыванием. Чтобы вычислить упомянутый выше эллипсоид, конструируем функционал Ляпунова - Красовского в отличие от обычной функции Ляпунова. В этой связи представляемая работа может выглядеть как расширение работы [22] на случай квантования. Отметим, что такая же проблема рассматривалась в [23], где обратная связь строилась с использованием оценки состояния от фильтра типа Люенберге-ра. Здесь рассматривается задача синтеза робастной динамической обратной связи полного порядка.
Структура статьи. Формальная постановка задачи дана в разделе 2. Раздел 3 содержит условия, при которых заданный эллипсоид является инвариантным, устойчивым и притягивающим для замкнутой системы, порожденной предложенным регулятором. Субоптимальный алгоритм для минимизации такого эллипсоида представлен в разделе 4. Численный пример приведен в разделе 5. Последний раздел содержит заключительные замечания.
2. Постановка задачи
2.1. Описание системы Рассмотрим нелинейную систему
(1) х(ь) = / (ь,х(ь)) + Бп(г) + ьх(г),
где х(Ь) € Мга, и(Ь) € Мт (т ^ п) и их(Ь) € Мга представляют собой вектор состояния, управление и возмущение в момент времени Ь € К+ соответственно. Используем следующую модель для описания зашумленного, дискретизиро-ванного и квантованного выхода у(Ь):
(2а) у(Ь) = Сх(Ь) + Шу (Ь),
(2Ь) У№ = Е У(Ьк )Х[^А+1)(Ь)>
к
(2с) у(Ь)= *№))■
5* 131
и и
Рис. 1. Компоненты измеряемого выхода.
Вектор Шу(¿) € Кк в уравнении (2а) — детерминированный шум. Символ Хцк,гк+1) в (2Ь) обозначает характеристическую функцию временного интервала ^к ^к+г), т.е.
Х[гк^к+1)(1) :=
1 если t € [tk^к+г), 0 иначе,
¡>к
к = 0,1, 2,
Таким образом, у : М+ — Мк - кусочно-постоянная функция, полученная при дискретизации с фиксацией у в дискретные моменты tк. Выход системы в момент t у (t) € Кк получается при квантовании дискретизированного сигнала у. Формально: пусть У С Кк - счетное множество возможных выходных значений. Далее, п : Мк — У в уравнении (2с) определяется как оператор проектирования, т.е. оператор, удовлетворяющий условию поп(у)=п(у). Образ п есть дискретное подмножество Мк. Например, каждая компонента у() после проектирования может принимать значения на множестве фиксированных
Г (1) (2) 1
точек <у\ ,у\ ,... ^, как показано на рис. 1.
Отметим, что из уравнений (2а)-(2с) следует, что для всех t € ^к^к+г)
где
(3)
уСО = п(Сх^к) + Шу ^к)) = Сх^) + Шу (t) + А у(Ь, tk),
Аy(t,tk) = y(t) - У(t) = п(Сх^к) + Шу^к)) - [Cx(t) + Шу=
= Аy/(tk) + Аy//(t,tk),
Ау'^к) := п(Cx(tk) + Шу^к)) - [Cx(tk) + Шу(tk)], Ау"(^ tk) := С [х^к) - х^)] + [Шу ^к) - Шу(t)].
2.2. Основные предположения
Сформулируем основные предположения.
1. Возмущение и шум неизвестны, но ограничены. Точнее, известны положительно определенные матрицы Qx € Мгахга и Qy € Мкхк такие, что
(4) + ||Шу(t)УQw < 1 для всех t € М+.
Здесь || ■ ||дх и || ■ ||ду - взвешенные нормы, определяемые матрицами Qx и Qy.
г
г
о
2. Функция / также неизвестна, но удовлетворяет квазилипшицеву ограничению
(5) \\/^,х)-Ах(т1^^{б + \\х(т1) для всех (¿,Ж)еМ+хГ\
где скаляр 6 > 0, ^ > 0 и А — известная матрица размера п х п.
3. Пара (А, В) управляема, а пара (А, С) наблюдаема.
4. Интервалы дискретизации не обязательно регулярные, но не превышают
Н := тах |Ьк+1 - ¿к
к
5. Погрешность квантования ограничена, т.е. положительный скаляр
(6) с :=тахх ||п(у) - у\\1у
утк ^у
конечен.
Отметим, что условие (5) не слишком ограничивает, поскольку ему удовлетворяет широкий класс неизвестных нелинейных функций [17-18]. Введя вспомогательную функцию
(7) Шх(Ь) := их(Ь) + /(Ь,х(Ь)) - Ах(Ь),
можно переписать уравнения (1) и (2а)-(2с) в квазилинейном виде
(8) х(Ь)= Ах(Ь)+ Ви(Ь) + Шх(Ь),
() у(Ь)= Сх(Ь) + Шу(Ь)+Ду(Мк), Ь € [Ьк,Ьк+1)-
Теперь приведенное выше условие 3 становится естественным.
2.3. Структура обратной связи
Предложенный синтез обратной связи используется здесь в комбинации с классическим построением регулятора по выходу полного порядка для линейных систем [24], задаваемым уравнениями
и(Ь) = Сг хг (Ь) + Д. у(Ь),
(9) х г (Ь) = Аг хг (Ь) + Вг у(Ь),
хг (0) — хд,
где
хг € Мп, Аг € Мпхп, Вг € Мпхк, Вг € Мтхк, Сг € Етхп.
Синтез управления для системы (9) полностью определяется выбором матрицы
(10) в :=
С г
Вг .Аг
€
■^(п+т,) х (п+к)
Назовем в матрицей динамического регулятора. Введя расширенные векто ры
т
(11)
€ М2п т
п(Мк):= ^Т(^),Аут(Мк)] €
можно представить реализацию замкнутой системы (1)—(2с) с учетом (9) как
1гп.хп
т =
А + ВД.С ВСГ
В г С аАг
¿(¿) +
'пхп и г и г 0пхп Вг Вг
П(Мк )
или эквивалентно при г(0) = (жо,Жо) и для любого £ € [¿к, ¿к+0 (12) ¿(¿) = (Ао + BовCо)z(í) + [До + ВовЕо] п(Мк),
где
Ао := До :
А 0 , Во := В0 , Со := С0
0 0 0 !пхп 0 !пхп
1пхп 0пхт 0пхт 0пхп 0пхт 0пхт
Ео :=
0пхп !тхт ±тхт 0пхп 0 0
3. Анализ устойчивости 3.1. Функционал Ляпунова - Красовского и его производная
Поскольку дискретизация влечет за собой запаздывание, вместо стандартной функции предлагаем использовать функционал Ляпунова - Красовского. Более точно, пусть Со(М, М2п) — пространство всех непрерывных функций из М в М2п, дифференцируемых почти всюду; пусть Я > 0 и Р > 0 — матрицы размера 2п х 2п и пусть а > 0 — скаляр. Следуя [23], определим функционал V : М х Со(М, М2п) ^ М+ как
Г о Г*
(13) V (М(-)):= -гтС0Р-1г(£) + Ь/ / еа(з-1) ¿т (в)Ег(в^вМ.
■> в=-Н ■> 8=1+в
Прямое вычисление его производной по времени дает
(14)
/•о /•í
^(¿,г(0) = 2гт(¿)Р- аН / еа(з-ь)гт(8)Ш(8)(8(в-
З-нЬ+в
-Ь [* еа(з-1)гт(з)т,(8)&8 + Ь2гт ■¡г-н
Прибавляя и вычитая в правой части (14) член агт(¿)Р-1г(£), получаем: У(г, г(-)) = 2гт(г)Р-1г(£) + агт(¿)Р-1г(£)-
-Ь Г еа(з-г)гт(8)Ш(8)(18 + Л,2гт(£)Яг(£) - аV(¿,г(-))-■¡г-н
Далее используя неравенство Йенсена (смотри подробности в [23]), гь г ь ¡-г
= —[*(*) - ¿(¿к)]т Д [¿(¿) - ¿(¿к)]
справедливое для любого заданного г(-) € С0(М, М2га), Л, > 0, а > 0 и Д> 0, из равенства (15) выводим следующее дифференциальное неравенство:
(16) *(•)) < —«V(¿, г(О) + ^(-))т¿(0),
где
/ \ / \
(17) 6(М(0): = ь = ¿(¿) € М6п
\*(*)—^)/
и — симметричная матрица, определяемая выражением
'аР-1 Р-1 0
(18) := | Р-1 Л,2Я 0
0 0 —Л,е-оЛД
3.2. Дескрипторная форма
Теперь уточним границу, полученную в (16), ограничив г(-) множеством решений (12). Чтобы это сделать, будем следовать идее, предложенной в [26-27] и исходно разработанной для систем в дескрипторной форме, которая состоит в добавлении члена (так называемого дескрипторного члена) в выражение для V. Дескр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.