Автоматика и телемеханика, № 5, 2014
Линейные системы
© 2014 г. В.А. КУБЫШКИН, д-р техн. наук (vicalkub@ipu.ru), С.С. ПОСТНОВ (postnov.sergey@inbox.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ФОРМЕ ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ: ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ
Обоснована постановка задачи оптимального управления для линейной стационарной динамической системы дробного порядка в форме проблемы моментов. Исследованы условия, при которых проблема моментов может быть поставлена и является разрешимой. Рассмотрены частные случаи (одномерная линейная стационарная система и двойной интегратор), для которых получены решения задачи и исследованы вопросы качественной динамики.
1. Введение
Динамика систем, описываемых уравнениями нецелого (дробного) порядка, является объектом исследования специалистов примерно с середины XX в. [1—3]. Исследование динамических систем нецелого порядка с управлением активно развивается в последние 5-7 лет [4, 5]. Растущий интерес к данным направлениям обусловлен двумя основными факторами. Во-первых, к середине прошлого века были достаточно полно проработаны математические основы дробного интегро-дифференциального исчисления и теории дифференциальных уравнений дробного порядка [6]. Примерно в это же время стала складываться и методология применения дробного исчисления в прикладных задачах, начали развиваться численные методы расчета интегралов и производных дробного порядка. Во-вторых, в фундаментальной и прикладной физике к этому моменту был накоплен значительный объем результатов, показавших необходимость использования аппарата дробного исчисления для адекватного описания целого ряда реальных систем и процессов [1,2]. В качестве примеров реальных систем упомянем электрохимические ячейки, конденсаторы с нерегулярными (фрактальными) электродами, вязкоупругие среды, плазму и плазмоподобные среды (в том числе неупорядоченные полупроводники). Эти системы обладают, как правило, нетривиальными физическими свойствами, полезными с практической точки зрения. Например, нерегулярная структура электродов в конденсаторах позволяет достигать для них гораздо большей емкости, а использование электрических схем с элементами,
имеющими передаточную характеристику дробно-степенного типа, обеспечивает более гибкую настройку контроллеров дробного порядка, используемых в современных системах управления [4, 5].
Для систем дробного порядка с управлением на сегодня не существует теорем, аналогичных принципу максимума Л.С. Понтрягина. Задачи оптимального управления для таких систем до недавнего времени исследовались в рамках вариационного подхода [7-9], не позволяющего явным образом учитывать ограничения на норму управления и работать с разрывными управлениями. Свободным от этих сдерживающих факторов является метод моментов — весьма эффективный инструмент постановки и решения задач оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами [10, 11]. Кроме того, этот метод дает единую процедуру решения двухточечной краевой задачи — задачи, вызывающей большие трудности при использовании принципа максимума Л.С. Понтрягина. Ранее [12] метод моментов уже был использован для исследования задачи оптимального управления системами, описываемыми одним и двумя линейными уравнениями дробного порядка (одиночным и двойным интеграторами). Предполагалось, что управление принадлежит пространству М[0, Т] функций, измеримых и почти всюду ограниченных по абсолютной величине на отрезке [0,Т].
В настоящей работе рассмотрено применение метода моментов для исследования оптимального управления в линейных динамических системах дробного порядка, в которых управление может принадлежать как пространству М[0, Т], так и пространству £Р[0,Т] функций, интегрируемых на отрезке [0, Т] со степенью р, 1 < р < то. Рассмотрены системы, которые описываются произвольным числом линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка [6, 13]. Определены условия, при которых задачи оптимального управления в таких системах могут быть сведены к проблеме моментов.
2. Постановка задачи
Пусть вектор-функции д(£) = (д^), ..., (£)) и и(£) = (^(¿), ..., им(£)) определены на отрезке £ € [0, Т]. Будем рассматривать случаи, когда управление и(£) принадлежат пространству М[0, Т] или пространству £р[0, Т]. Норма управления задается в соответствии со стандартными определениями [14]. При этом будем считать, что при р — то пространство £р[0, Т] переходит в пространство М[0, Т]. Фазовые координаты системы д^(£), определяющие ее состояние в момент времени £ € [0, Т], будем считать обладающими всеми необходимыми свойствами для существования решений рассматриваемых ниже уравнений, в частности дифференцируемыми хотя бы один раз.
Будем рассматривать линейные стационарные динамические системы нецелого порядка вида
(1) С О*&(*) = ац я3 (£) + Ъгз и (£) + /»(£),
где с— оператор дробного дифференцирования, а € (0,1], £ € [0, Т], /¿(£) — возмущающие функции (считаются известными), а^ и Ъ^ — коэф-
фициенты, г,] = По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Дробную производную будем понимать как левостороннюю дробную производную Капуто [6]. Начальные и конечные условия для системы (1) зададим в виде:
(2) 5(0)= д° = (??, ..., д%),
(3) ?(Т) = ат = (9Т, $).
В дальнейшем будем следовать терминологии из [10]. Поставим следующую задачу оптимального управления.
Задача 1. Найти управление и(£), £ € [0,Т], такое, чтобы система (1) перешла из заданного начального состояния (2) в заданное конечное состояние (3) и при этом или норма управления в пространствах М[0,Т] или £р[0,Т] достигла минимального значения, когда значение Т задано (задача А), или время управления Т было минимальным при условии ||и|| ^ I, I > 0, I задано (задача Б).
3. Сведение задачи оптимального управления к проблеме моментов
3.1. Общие сведения
Для систем типа (1) в случае целых неотрицательных значений щ было показано [11], что поставленная выше задача 1 оптимального управления эквивалентна следующей 1-проблеме моментов.
З а дач а 2. Пусть задана система функций дг(£) € Ьр/ [0,Т] и числа сг, г = 1, АГ. Пусть также задано конечное действительное число I > 0. Необходимо найти функцию и(£) € £р[0, Т], для которой выполнялись бы следующие условия:
т
(4) У^ТМТ^Т = Сг(Т),
0
(5) ||и(*)|| < I.
Пространства £р[0, Т] и £^[0, Т] являются сопряженными: 1/р + 1/р' = 1, 1 < р < то, 1 < р' < то. Для существования функции и(£) € £р[0,Т] (решения задачи 2) необходимо и достаточно, чтобы существовали число Л^ > 0 и N чисел ..., , дающих решение следующей эквивалентной задачи на условный минимум [11].
Задача,3. Найти
(6)
шт
N
1 /р'
<и
N
г=1
1/р'
1
при условии, что
(7)
N
Е
г=1
СгСг = 1.
р
р
При этом min ||u(t)|| = An ^ l [11]. В этом случае оптимальное управление в смысле задачи А дается формулой [11]:
(8)
u(t) = AN
N
N
г=1
p'-i
sign
N
E^(t)
.¿=1
t e [0,T].
Решение задачи Б, в свою очередь, будет определяться формулой [11]:
(9)
u(t) = lp
N
(t)
¿=i
p'-i
sign
N
£&&(t)
.¿=1
, t e [0,T*],
где Т* — минимальное неотрицательное действительное решение уравнения
(10) Ам (Т *) = I.
Известно [11], что для постановки проблемы моментов (4)—(5) ключевым условием является возможность определения нормы функций в про-
странстве Ьр/ [0, Т]. Для разрешимости проблемы моментов (4)—(5) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие А^ > 0 или, что эквивалентно, чтобы функции были линейно независимы (или часть из них образовывала линейно независимую систему функций) [11]. Также будем подразумевать, что моменты с являются конечными числами и хотя бы одно из них отлично от нуля (иначе условие (7) не будет выполняться).
Покажем далее, что задача оптимального управления для систем типа (1) при нецелых положительных значениях а^ может быть сведена к проблеме моментов аналогично случаю целых положительных а^. Также исследуем вопрос об условиях, при которых проблема моментов может быть поставлена и будет разрешима.
3.2. Одномерный случай
Общее решение уравнения (1) в одномерном случае записывается в виде [6, с. 230] (нижние индексы опущены):
г
(11) д(г) = д°Еа (аП + / - т)°] йт,
0 (* - тГ а
где = Еад(£) и Еа;а(£) — одно- и двухпараметрическая функция
Миттаг-Леффлера. Данные функции являются обобщениями экспоненты, и для них справедливо представление в виде степенного ряда, абсолютно сходящегося при положительных значениях а и в на всей числовой прямой [6, с. 42].
Видно, что при Ь = Т (11) можно переписать в виде одномерной 1-проблемы моментов (4) и будут справедливы выражения:
(12) (13)
) = Ь
с(Т) = дт - (аТа) - у
Д0,а[а(Г-т)°] (Т-т)1"» '
Т Еа>а[а(Т - т)а]
(Т - т)1-
/ (т )<т.
Покажем теперь, что одномерная проблема моментов (4), (12)—(13) может быть поставлена и разрешима.
В случае и(Ь) € М[0, Т], т.е. при р — то, будем иметь р' = 1, т.е. #(Ь) € € ¿1[0,Т]. Тогда с учетом (12) норма функции $(Ь) будет определяться выражением
т
Д0,а[а(Г-т)°] (Т-т)1"»
<т
Ь
[Е«(аТа) - 1)]
т.е. норма функции $(Ь) будет определена тогда, когда выражение в правой части отлично от нуля и ограничено. В этом случае будет выполняться и условие А > 0: из (6)—(7) при N = 1 видно, что выражение для ||$(Ь)|| с точностью до множителя 1/с равно величине 1/А, т.е. в этом случае проблема моментов для одномерной линейной стационарной системы может быть поставлена и будет разрешима. Следует иметь в виду также, что условие ограниченности и неравенства нулю момента в данном случае налагает соответствующие ограничения на функцию / (Ь).
Пусть и(Ь) € £р[0, Т]. При исследовании возможности постановки и разрешимости проблемы моментов ограничимся здесь следующей оценкой. Будем считать, что Ь = 0. В силу общих свойств нормы [14, гл. 3, § 3] имеет место
неравенство
< ||ЬЕв1в[а (Ь - т)а]|| ||(Т - Ь)
а—11
Первый сомножитель будет ограничен в силу свойств функции Миттаг-Леффлера [6, с. 42]. Для второго сомножителя справедливо выражение
1/р'
||(Т - Ь)
а—11
|(Т - Ь)
л—11 Р
<и
= (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.