научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

МИНАЗЕТДИНОВ Н.М. — 2012 г.

Поставлена и решена задача электрохимической обработки металлов периодическим катодом инструментом в виде решетки пластин. Гидродинамический аналог исходной задачи - задача о плоскопараллельном потенциальном циркуляционном течении идеальной несжимаемой жидкости вокруг пластин электродов. Для задания исходных данных и условий, определяющих параметры задачи, рассмотрены вспомогательные схемы. Найдены установившиеся формы анодных границ. Показано, что за счет изменения характеристик электрического поля получаются разные анодные границы при условии, что свойства металла и электролита, геометрия электрода инструмента и его скорость подачи одинаковые.

ДАВТЯН Д.Б., ПОЖАРСКИЙ Д.А. — 2012 г.

Исследуются пространственные контактные задачи о действии абсолютно жесткого полосового в плане штампа на трансверсально изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. В связи с тем, что упругая жесткость границы полупространства, характеризуемая нормальным перемещением под действием заданной сосредоточенной силы, существенно зависит от выбранного направления на этой границе, рассмотрены два случая расположения штампа: вдоль первой или второй оси декартовой системы координат на границе тела (задачи А и Б). Нормальное перемещение границы тела под действием заданной нормальной сосредоточенной силы после применения двойного преобразования Фурье получено в виде, свободном от квадратур, что позволяет без труда определять жесткость границы в разных направлениях, а также направления экстремальной жесткости. В предположении, что функция, описывающая форму основания штампа, представима рядом Фурье, получены одномерные интегральные уравнения контактных задач А и Б, символы ядер которых не зависят от номера члена ряда Фурье. При специальной аппроксимации символа ядра выводится замкнутое решение контактной задачи через функции Матье по методу В.Л. Рвачева, нашедшего замкнутое решение аналогичной контактной задачи о действии полосового штампа на изотропное упругое полупространство. Для решения интегральных уравнений контактных задач использованы регулярный и сингулярный асимптотические методы с введением безразмерного геометрического параметра λ, характеризующего отношение величины периода волнистой подошвы штампа к толщине полосы контакта. Также на основе метода ортогональных функций интегральные уравнения сведены к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, для решения которых метод редукции применим при любых значениях λ.

ДОЛОТОВ М.В., КИЛЛЬ И.Д. — 2012 г.

Рассматривается динамическая задача для упругого полупространства при несимметричной нормальной нагрузке его границы. Получены простые выражения для компонент тензора напряжений в виде сходящихся при малых значениях времени рядов, обладающих асимптотическими свойствами. Оценены погрешности приближенного решения, определяемого частичными суммами рядов.

ПОПОВ В.Г. — 2012 г.

Рассматривается задача о гармонических колебаниях продольного сдвига упругой полосы, сцепленной с упругим полупространством. Методом инте! гральных преобразований эта задача сведена к сингулярному интегральному уравнению относительно контактных напряжений в области сцепления по! лосы и полупространства при наличии двух неподвижных особенностей в точках, ограничивающих промежуток интегрирования. Один из основных результатов статьи - метод численного решения этого уравнения, учитываю! щий истинную особенность решения и основанный на применении для син! гулярных интегралов специальных квадратурных формул. Полученное при! ближенное решение дало возможность численно исследовать влияние часто! ты колебаний и отношения упругих постоянных полосы и полупространства на распределение напряжений в области контакта.

МАДЖИДЗАДЕ К., МУТАЛЛИМОВ М.М., НИФТИЕВ А.А. — 2012 г.

Изучаются некоторые экстремальные задачи, связанные с крутильной жесткостью однородного тела. Путем определения вариации области при использовании взаимно однозначного соответствия между ограниченными выпуклыми областями и непрерывными положительно#однородными вы# пуклыми функциями решается задача оптимизации жесткости на кручение цилиндрического тела относительно поперечного сечения. На основе этого подхода найдена формула для крутильной жесткости, а также получены условия, характеризирующие оптимальную область и максимальное значе# ние функционала.

САЛЬНИКОВА Т.В. — 2012 г.

Существование бесконечного числа негиперболических периодических траекторий в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, а также двойственной ей задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой в силовом поле с квадратичным потенциалом доказывается с помощью одной из теорем Клингенберга. Динамическая система рассматривается на неодносвязном многообразии четной размерности с римановой метрикой.

БОГАЧЕВ И.В., ВАТУЛЬЯН А.О., ЯВРУЯН О.В. — 2012 г.

Предлагается методика эффективного решения обратных коэффициентных задач о восстановлении законов изменения свойств неоднородной электроупругой среды в прямоугольнике. Рассмотрены два типа нагружения - электрическое и механическое, позволившие сформулировать три коэффициентные обратные задачи для нахождения искомых функций. Сформулирован итерационный процесс для решения обратной задачи, на каждом шаге которого из решения системы интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода определяются поправки к неизвестным функциям относительно начальных приближений. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению неоднородных упругих и пьезоэлектрических характеристик.

АНДРУСЕНКО Е.Н., ГУЛЯЕВ В.И., ХУДОЛИЙ С.Н. — 2012 г.

Поставлена задача об упругом изгибе бурильных колонн в каналах глубоких криволинейных скважин с геометрическими несовершенствами их осевых линий. Рассмотрены несовершенства в форме локализованных спиралей. Выполнен анализ зависимости сил сопротивления движению колонны от амплитуд, шагов и мест локализации несовершенств. Найдены распределенные силы контактного и фрикционного взаимодействия бурильной колонны с поверхностью скважины, установлены эффекты прихвата колонны. Показано, что силы сопротивления и их моменты увеличиваются с увеличением амплитуд несовершенств, уменьшением их шагов и смещением зон их расположения от нижних, наименее искривленных участков, к верхним, наиболее искривленным участкам.

ВОЛКОВ В.Г., ГАЛИАКБЕРОВА Л.Р., ЖЕЛТОВА И.С. — 2012 г.

Известные результаты классификации дифференциальных уравнений параболического типа, обладающих бесконечной алгеброй Ли-Беклун# да, используются для описания моделей фильтрации, которые с помо# щью дифференциальных (в общем случае) подстановок могут быть при# ведены к уравнению теплопроводности. Получены соотношения, кото# рые связывают функциональные параметры, характеризующие свойства жидкой и газовой фаз и пористой среды, и обеспечивают существование таких подстановок.

АКУЛЕНКО Л.Д., НЕСТЕРОВ С.В. — 2012 г.

Исследуется локальная зависимость от длины собственных частот и форм плоских поперечных колебаний тонкого неоднородного стержня в упругой среде с переменным коэффициентом жесткости и произвольными граничными условиями упругого крепления. Установлено, что наличие внешней упругой среды, описываемой моделью Винклера, может приводить к аномальному эффекту - увеличению собственных частот низших мод колебаний при непрерывном увеличении длины стержня. Выявлены весьма тонкие свойства этого изменения в зависимости от длины, номера моды и способа крепления. Отдельно изучены колебания в случае стандартных способов крепления. Проведен расчет простых примеров, иллюстрирующих аномальную зависимость частоты собственных колебаний стержня в сильно неоднородной упругой среде с разными граничными условиями.

АРГАТОВ И.И. — 2012 г.

Методом, комбинирующим приемы осреднения и сращивания асимптотических разложений, изучается трехмерная контактная задача линейной теории упругости для системы большого числа малых штампов, периодически размещенных в пределах ограниченной площадки на границе упругого полубесконечного тела. Предполагается, что отношения диаметров пятен фактического контакта к расстояниям между ними малы, причем каждое такое отношение для соседних пятен контакта находится в пропорции с отношением размера периодической ячейки к диаметру номинальной площади контакта. Строится асимптотика двоякопериодической контактной задачи для упругого полупространства. Приближенное решение в явном виде построено для кругового и эллиптического пятен контакта. В первом случае построенные результаты согласуются с известным решением в литературе, полученным другим методом.

ГОРЯЧЕВА И.Г., МАЛАНЧУК Н.И., МАРТЫНЯК Р.М. — 2012 г.

Рассматривается плоская контактная задача для двух упругих полупространств из одинаковых материалов с периодической системой выемок на одном из них при учете частичного проскальзывания. Предполагается, что сначала осуществляется полный контакт поверхностей тел под действием нормальной нагрузки, а затем к ним прилагается тангенциальная нагрузка, приводящая к возникновению участков фрикционного проскальзывания в пределах каждой выемки. Напряженно деформированное состояние тел представлено через известную функцию высоты выемок и заранее неизвестную функцию относительного сдвига границ тел на участках проскальзывания. Для определения последней получено сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, которое решено аналитически. Ширина участков проскальзывания находится из условия ограниченности касательных контактных напряжений. Проанализированы зависимости контактных параметров от приложенной нагрузки и ширины выемок.

КОЛОСОВА Е.М., ЧЕБАКОВ М.И. — 2012 г.

При учете сил трения рассматриваются плоские контактные задачи о взаимодействии штампа и трехслойной упругой полосы, лежащей на жест! ком или упругом полупространстве, в предположении, что слои жестко со! единены между собой и с полупространством. Предполагается также, что подошва штампа плоская или имеет форму параболы, в зоне контакта нор! мальные и касательные напряжения связаны законом Кулона, а на штамп действуют нормальные и касательные усилия. При этом система штамп - трехслойное основание находится в условиях предельного равновесия и штамп в процессе деформации слоя не поворачивается. Для поставленных задач с помощью программ аналитических вычислений впервые получены точные интегральные уравнения (ИУ) первого рода с ядрами, представлен! ными в явном аналитическом виде. Изучены основные свойства ядер ИУ, в том числе показано, что числитель и знаменатель символов ядер могут быть представлены в виде разложения по произведениям степеней модулей сдвига слоев и полупространства. Изложена схема решения ИУ прямым методом коллокаций, которая позволяет получать решение задачи практи! чески при любых значениях исходных параметров. Рассчитаны распределе! ния контактных напряжений, размеры области контакта, взаимосвязи пере! мещения штампа и действующих на него сил в зависимости от геометриче! ских и механических параметров слоев. Проведено сравнение результатов расчетов в частных случаях с ранее известными.

ХАРЛАМОВ A.A. — 2012 г.

Предлагается модификация метода последовательных изображений для нахождения зависимости коэффициентов присоединенных масс кругового цилиндра, движущегося перпендикулярно своей оси в произвольном месте между параллельными стенками, от безразмерных расстояний до обеих стенок. Поле скоростей соответствующей плоской задачи моделируется бесконечной последовательностью диполей, расположенных вдоль линии, проходящей через центр цилиндра и перпендикулярной стенкам. Получен- ные зависимости аппроксимированы простыми непрерывными функция- ми. В частных случаях дано сравнение полученных результатов с известны- ми решениями задачи о движении цилиндра возле одной стенки и о попе- речном бесциркуляционном обтекании решетки цилиндров.

2012

АННИН Б.Д., КЛУННИКОВА М.М., САДОВСКАЯ О.В., САДОВСКИЙ В.М. — 2012 г.

Разработан универсальный вычислительный алгоритм и компьютерная программа, реализующая прямой вариант метода характеристик для реше" ния систем квазилинейных уравнений в частных производных первого по" рядка относительно двух независимых переменных. Алгоритм применен к расчету сетки линий скольжения и поля вектора скорости в задачах теории предельного равновесия идеально пластических и сыпучих сред. Для де" монстрации работоспособности метода приведены результаты численного решения задачи идеальной пластичности для плоскости с отверстием, на" груженным внутренним давлением, плоской задачи о предельном равнове" сии сыпучей среды и осесимметричной задачи о вращающемся штампе на поверхности пластического полупространства.

БАТХИН А.Б., БРЮНО А.Д., ВАРИН В.П. — 2012 г.

Рассматривается вещественная линейная система Гамильтона с постоян- ными коэффициентами, зависящими от нескольких вещественных пара- метров. Предлагается метод вычисления множества всех значений пара- метров, при которых стационарное решение этой системы при фиксиро- ванных значениях параметров устойчиво (т.е. множества устойчивости). Применение метода демонстрируется на одной гироскопической задаче, описываемой системой Гамильтона с четырьмя степенями свободы и с тре- мя параметрами. Используются компьютерная алгебра, в частности, базис Грёбнера, и степенная геометрия. Показывается, что четырехпараметрическое обобщение этой задачи не содержит принципиально новых трудностей.

ГОРЯЧЕВА И.Г., ШПЕНЁВ А.Г. — 2012 г.

Даются постановка и аналитическое решение задачи о скольжении жесткого трехмерного штампа периодической структуры по вязкоупругому основанию при наличии несжимаемой жидкости в зазоре между контактирующими поверхностями. Рассмотрено влияние жидкости на сопротивление движению штампа, распределение давлений в области контакта, зависимость сопротивления от скорости скольжения. Предлагаемая модель может использоваться в разных приложениях, например при учете явления аквапланирования при взаимодействии шины с мокрым асфальтом. Безразмерный анализ модели показывает, что все исследуемые характеристики зависят от пяти безразмерных параметров. Из численного анализа модели следует, что наличие жидкости в зазоре приводит к уменьшению размера пятна контакта и деформационной составляющей силы трения. Если объем жидкости не превосходит некоторой критической величины, этот эффект исчезает с увеличением скорости скольжения, а если превосходит, эффект имеет место при любых скоростях скольжения. Коэффициент трения при этом - немонотонная функция скорости скольжения.

ЛОПАНИЦЫН Е.А., ФРОЛОВ А.Б. — 2012 г.

Рассматривается алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений, описывающих стационарное поведение объектов механики де" формируемого твердого тела. На траектории решений системы допускается наличие предельных точек и простых точек бифуркации, в которых матри" ца Якоби системы, считающаяся действительной, симметричной и непре" рывной, вырождается. Основанием алгоритма является преобразование пространства аргументов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, которое строится с помощью матрицы вращения, сформиро" ванной из собственных векторов матрицы Якоби.

ЗИНГЕРМАН К.М., ЛЕВИН В.А. — 2012 г.

Проанализированы качественные эффекты в решении ряда радиальносимметричных и плоских осесимметричных задач для тел из нелинейноупругих несжимаемых материалов при больших деформациях. Для задач об осесимметричной плоской деформации цилиндрических тел детально исследованы неоднозначность решения при заданной следящей нагрузке для материала Бартенева-Хазановича и наличие предельной нагрузки для материала Трелоара (неогуковского), приведены зависимости предельной нагрузки от соотношения внешнего и внутреннего радиусов полого цилиндра в недеформированном состоянии. Аналогичное исследование выполнено для определяющих соотношений специального вида, хорошо описывающих свойства резины. Для этого материала выявлена неоднозначность решения при достаточно больших нагрузках. Решена осесимметричная задача о плоском напряженном состоянии кругового кольца, изготовленного из материала Бартенева-Хазановича; обнаружена неоднозначность решения при заданной следящей нагрузке в случае, если размеры кольца заданы в недеформированном состоянии. Для задачи о радиально симметричной деформации полой сферы выполнены аналогичные исследования для материалов Черных и Трелоара. Установлено, что для материала Черных неоднозначность решения существенно зависит от постоянной, характеризующей физическую нелинейность. Исследован предельный случай - деформация сферической полости в бесконечно протяженном теле. Обнаружен эффект неограниченного возрастания контурных напряжений при конечных внешних нагрузках, который проявляется для задачи о плоской осесимметричной деформации цилиндрической полости в бесконечно протяженном теле из материала Бартенева-Хазановича и для задачи о радиально симметричной деформации бесконечно протяженного тела из материала Черных со сферической полостью.