научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

ЗИНГЕРМАН К.М., ЛЕВИН В.А. — 2013 г.

Рассматривается для случая больших плоских деформаций постановка и решение осесимметричной статической задачи о напряженно-деформированном состоянии двух полых круговых упругих цилиндров, один из которых предварительно деформирован и вставлен в другой цилиндр (обобщение задачи Ламе–Гадолина на случай больших деформаций). С использованием теории наложения больших деформаций получено точное аналитическое решение статической задачи для цилиндров из несжимаемых материалов Трелоара и Бартенева–Хазановича, включая случай, когда цилиндры изготовлены из разных материалов. Для цилиндров из сжимаемого материала Блейтца–Ко получено аналитическое решение в параметрической форме. Исследованы нелинейные эффекты.

КРАЙКО А.Н., ТИЛЛЯЕВА Н.И. — 2013 г.

В классической постановке бесконечно тонкой детонационной волны (ДВ) в невязкой и нетеплопроводной горючей смеси исследуется обтекание кругового конуса в режиме самоподдерживающейся детонации Чепмена- Жуге ("детонации ЧЖ"). Такой режим обтекания конуса замечателен в не- скольких отношениях. Еще в 1959 г. Г.Г. Черный и С.С. Квашнина показа- ли, что при обтекании конуса сверхзвуковым потоком горючей смеси дето- нация ЧЖ, как и в случае клина, возможна не только при строго опреде- ленном угле конуса ("угле ЧЖ"), но и при меньших его углах (включая нулевой, т.е. при отсутствии конуса). При обтекании клина, угол которого меньше соответствующего угла ЧЖ, к ДВ ЧЖ примыкает центрированная волна разрежения, поворачивающая сверхзвуковой поток до требуемого направления. В случае конуса к ДВ ЧЖ также примыкает коническое тече- ние разрежения. Однако, если в плоском случае к центрированной волне разрежения по ее граничной С+-характеристике примыкает равномерный сверхзвуковой поток, то коническое течение разрежения ограничено кони- ческой ударной волной (УВ), к которой до поверхности конуса примыкает коническое течение сжатия. Только при нулевом угле конуса УВ вырожда- ется в С+-характеристику, а коническое течение сжатия - в равномерный сверхзвуковой поток. Конфигурация же, которая реализуется в общем слу- чае, стала первым примером автомодельного решения с двумя расходящи- мися из одной точки УВ "одного семейства" (первая из них - ДВ). Резуль- таты выполненных в данной работе расчетов с построением линий тока и характеристик обоих семейств дают достаточно полное представление об указанных особенностях рассмотренных течений.

ЕРОФЕЕВ В.И., ЛИСЕНКОВА Е.Е. — 2013 г.

Выявляются общие закономерности, присущие волнам, распространяющимся в одномерных упругих системах. Приводятся локальные законы переноса энергии и волнового импульса в случае, когда лагранжиан упругой системы зависит от обобщенных координат и их производных до второго порядка включительно. Показано, что в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью, отношение плотности потока энергии к плотности потока волнового импульса равно фазовой скорости. Установлено, что для систем, динамическое поведение которых описывается линейными уравнениями или нелинейными относительно неизвестной функции, отношение средних значений плотности потока энергии к плотности волнового импульса равно произведению фазовой и групповой скоростей волн.

ТЕОДОРОВИЧ Э.В. — 2013 г.

Рассматривается задача о статистическом описании поля турбулентных пульсаций скорости на основе метода характеристического функционала. Получены уравнения для парной корреляционной функции (ПКФ) поля скоростей и функции Грина, описывающей усредненный отклик поля ско- рости на внешнее силовое воздействие. Получено представление нелиней- ного члена в уравнении для ПКФ в виде двух слагаемых, которые могут быть интерпретированы как результат учета переноса импульса за счет тур- булентной вязкости и действия эффективных случайных сил (в рамках тра- диционного феноменологического описания учитывается только турбу- лентная вязкость). Предложена схема замыкания цепочки уравнений для статистических моментов путем использования низшего приближения тео- рии возмущений для высших статистических моментов, в результате чего получена замкнутая система уравнений для ПКФ и функции Грина, реше- ние которой соответствует суммированию некоторой бесконечной подпо- следовательности полного ряда теории возмущений.

БЛАГОДАТСКИХ А.И. — 2013 г.

Получены достаточные условия одновременной многократной поимки в линейном нестационарном конфликтно управляемом процессе с равными динамическими и инерционными возможностями всех участников.

ВАЙСФЕЛЬД Н.Д., ПОПОВ Г.Я., РЕУТ В.В. — 2013 г.

Рассматривается осесимметричная смешанная задача о напряженном состоянии упругого конуса, к основанию которого присоединен шаровой сегмент. Боковая поверхность конуса жестко защемлена, а поверхность ша- рового сегмента находится под нагрузкой. Применение нового интеграль- ного преобразования по меридиальному углу сводит задачу в пространстве трансформант к векторной краевой задаче, решение которой строится с помощью аппарата решения матричной краевой задачи. Неизвестная функция (производная смещений), входящая в решение, определяется из приближенного решения сингулярного интегрального уравнения, для чего проведено предварительное исследование характера особенности функции на концах промежутка интегрирования. Последующее применение обрат- ных интегральных преобразований приводит к окончательному решению исходной задачи. Полученные значения напряжений сравниваются с на- пряжениями, возникающими в конусе при аналогичной нагрузке, когда на боковой поверхности конуса заданы условия скользящей заделки (для это- го случая построено точное решение указанной задачи, основанное на из- вестном результате).

ОСТРИК В.И. — 2013 г.

Рассмотрена осесимметричная задача о контактном взаимодействии штампа полиномиального профиля и упругого полупространства при наличии трения и частичного сцепления в области контакта. С использованием метода Винера—Хопфа задача сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений типа Пуанкаре—Коха, решение которой получено в рядах. Найдены радиусы области контакта и зоны сцепления, распределение контактных напряжений, осадка штампа.

ХУСАИНОВ И.Г. — 2013 г.

Исследуется процесс отражения и прохождения гармонических волн и волн конечной длительности через границу перфорированного участка заполненного жидкостью и окруженного проницаемой пористой средой цилиндрического канала (обсаженной скважины). Представлена модель плоского нестационарного течения жидкости в цилиндрическом канале в квазиодномерном приближении и фильтрационного поглощения жидкости в окружающую канал пористую среду. Исследовано влияние коллекторских характеристик окружающей канал пористой среды и качества перфорации (длина перфорационных каналов) на эволюцию волн при отражении от границы перфорированного участка стенки.

АКУЛЕНКО Л.Д., НЕСТЕРОВ С.В. — 2013 г.

Проведено полное исследование задачи о параметрических колебаниях при наличии линейной диссипации. С помощью конструктивных численно-аналитических методов построены границы областей устойчивости в широкой области изменения параметров – коэффициентов модуляции и трения. Посредством решения несамосопряженных задач на собственные значения и функции определены фазовые векторы основных трех мод колебаний и установлены принципиальные особенности поведения границ при изменении коэффициента линейного трения. Найдены собственные значения и функции сопряженной краевой задачи. Построена полная биортогональная система и определены ее функциональные свойства. Получены модифицированные выражения для скалярных произведений и квадратов норм собственных фазовых векторов.

СОЛДАТЕНКОВ И.А. — 2013 г.

Дается решение плоской задачи о контактном взаимодействии периодической системы выпуклых штампов с упругой полуплоскостью для двух видов граничных условий: 1) скольжение штампов при наличии трения и износа, 2) внедрение штампов при наличии сцепления (адгезии). Задача сводится к каноническому сингулярному интегральному уравнению на дуге окружности в комплексной плоскости. Решение этого уравнения выражается через простые алгебраические функции комплексного переменного, что существенно упрощает его анализ. Получены асимптотические выражения для решения задачи в случае, когда размер области контакта мал по сравнению с расстоянием между штампами.

ГРЕКОВ М.А., КОСТЫРКО С.А. — 2013 г.

Методом возмущений построено решение плоской задачи теории упру- гости для композита пленка-основание в случае шероховатой поверхности основания. Дан алгоритм вычисления любого приближения, который при- водит в конечном счете к решению одного и того же интегрального уравне- ния Фредгольма второго рода. Выведены формулы для вычисления правой части этого уравнения, зависящей от всех предыдущих приближений. В случае периодически искривленной поверхности основания дается точ- ное решение интегрального уравнения в виде рядов Фурье, коэффициенты которых выражены в квадратурах. В первом приближении найдены напря- жения на плоской поверхности пленки и на межфазной поверхности в за- висимости от формы искривления поверхности, средней толщины пленки и отношения модулей Юнга пленки и основания. Показано, в частности, что наибольшая концентрация напряжений на поверхности пленки возни- кает над выступом более мягкого основания.

ГОЛЬДШТЕЙН Р.В., КУЗНЕЦОВ С.В. — 2013 г.

Дан обзор исследований по применению поверхностных акустических волн для неразрушающей диагностики слоистых сред. Построена модель для описания поверхностных акустических волн горизонтальной поляри- зации в слоистых анизотропных (моноклинных) средах. Для получения ре- шения разработан модифицированный метод передаточных матриц. Ис- следованы волны с горизонтальной поперечной поляризацией неканони- ческого типа. Построены дисперсионные кривые для многослойного композита, контактирующего с анизотропным полупространством. Пока- зано, что вариация физических характеристик и геометрии любого из внут- ренних слоев приводит к вариации дисперсионных кривых. Это открывает возможности применения дисперсионного анализа для неразрушающей диагностики свойств отдельных слоев.

РЕМИЗОВ М.Ю., СУМБАТЯН М.А. — 2013 г.

Для построения эффективного решения задачи о высокочастотной дифракции упругих волн на трещине в изотропной плоскости предлагается полуаналитический подход. Суть его состоит в выделении сильно осциллирующего решения основного интегрального уравнения задачи, которое справедливо равномерно по всей длине трещины при высоких частотах колебаний. Решение ищется в виде произведения сильно осциллирующей функции, отвечающей за качественное поведение решения, и некоторой медленно изменяющейся неизвестной модулирующей функции, которая и становится основной неизвестной в исходном уравнении. Показано, что для корректного нахождения этой новой неизвестной функции достаточно брать на порядок меньшее число узлов коллокации, чем при прямом подходе.

ВЕДЕНЕЕВ В.В. — 2013 г.

В нелинейной постановке исследуется развитие одномодового флаттера упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа. При небольшом углублении в область неустойчивости имеется единственный предельный цикл, соответствующий единственной растущей моде. При появлении второй растущей моды возникает несколько новых нерезонансных предельных циклов, найдены области их существования и устойчивости. При тех же параметрах могут существовать предельные циклы с внутренним резонансом, в которых имеется энергообмен между модами. Получены зависимости амплитуд предельных циклов от параметров задачи, что позволяет оценить опасность возникновения флаттера.

АНТОНОВ И.Л. — 2013 г.

Рассматривается задача об устойчивости вертикального положения шарнирно опертого на концах упругого стержня, нагруженного в верхнем конце зависящей от времени продольной силой, содержащей случайную составляющую. При моделировании случайной составляющей используется однородная марковская цепь. Получено неравенство, зависящее от характеристик случайной силы и коэффициента демпфирования стержня, в зависимости от выполнении которого, указанное положение равновесия будет с вероятностью единица, либо притягивающим, либо неустойчивым.

БУРЕНИН А.А., КОВТАНЮК Л.В. — 2013 г.

Приведено точное решение квазистатической задачи теории упруговязко- пластичности о развитии течения несжимаемой среды в цилиндрической трубе кругового сечения вследствие роста со временем перепада давления, о последующем течении при постоянном перепаде и торможении из-за его медленного снижения. Указаны условия возникновения и закономерности продвижения упругопластических границ при разных режимах нагружения.

ЗАХАРОВ Д.Д. — 2013 г.

Исследуются свойства собственных волн в слоистых плитах с анизотро- пией свойств в поперечном направлении. Анализируется наиболее общий вид решений, дисперсионные соотношения, потоки мощности и соотно- шения обобщенной ортогональности. Изучается сходство и различие свойств волн в сравнении с изотропными средами и идеальными жидко- стями, а также обобщения на случай слоистых пространств и полупро- странств. Для задачи с динамическими источниками конечного размера предлагается способ определения коэффициентов при собственных вол- нах, излучаемых в плиту. Рассмотрен способ суммирования рядов по соб- ственным волнам.

СИРОТИН А.Н. — 2013 г.

Исследуется задача оптимального управления переориентацией абсолютно твердого сферически симметричного тела. В качестве критерия эффективности маневра выбран интегрально-квадратичный функционал, характеризующий суммарные энергозатраты. Управлением служит главный момент приложенных внешних сил. Применение формализма принципа максимума Понтрягина приводит к анализу векторного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, общее решение которого в настоящее время еще не известно. Показано, что это уравнение имеет частное решение, описываемое тригонометрическими функциями времени, по которому можно полностью восстановить явное решение для соответствующего экстремального вращения. Предложена аналогия со свободным вращением некоторого осесимметричного тела.

ХАБЕЕВ Н.С., ШАГАПОВ В.Ш., ЮМАГУЛОВА Ю.А. — 2013 г.

Изучается задача о снижении давления пара в замкнутом объеме вслед- ствие конденсации на межфазной границе с холодной жидкостью. Получе- ны приближенные формулы, описывающие законы падения давления в случае контакта пара с холодной водой в виде слоя жидкости на горизон- тальной поверхности, а также в виде капель.

БРЫКИНА И.Г., РОГОВ Б.В., ТИРСКИЙ Г.А., ТИТАРЕВ В.А., УТЮЖНИКОВ С.В. — 2013 г.

Рассматриваются гиперзвуковые течения вязкого совершенного разре- женного газа около затупленных тел в переходном режиме обтекания от континуального к свободномолекулярному, характерном для входа косми- ческих аппаратов в атмосферу Земли на высотах выше 90-100 км. Двумер- ная задача гиперзвукового обтекания исследуется в широком диапазоне чисел Кнудсена набегающего потока с использованием как континуаль- ных, так и кинетических подходов: путем численного и аналитического ре- шений континуальных уравнений, путем численного решения кинетиче- ского уравнения Больцмана с модельным интегралом столкновений в виде S-модели, а также методом прямого статистического моделирования Мон- те-Карло. Континуальный подход основан на использовании асимптотиче- ски согласованных моделей тонкого вязкого ударного слоя и вязкого удар- ного слоя. Для модели вязкого ударного слоя предлагается уточнение усло- вия для температурного скачка на поверхности тела. Проводятся сравнения между континуальными и кинетическими решениями, а также решениями, полученными методом Монте-Карло. Оцениваются эффективность, обла- сти применимости, достоинства и недостатки различных подходов.