научный журнал по математике Журнал вычислительной математики и математической физики ISSN: 0044-4669

ГАСНИКОВ А.В., НЕСТЕРОВ Ю.Е., СПОКОЙНЫЙ В.Г. — 2015 г.

Предлагается рандомизированная онлайн версия метода зеркального спуска. Отличие от имеющихся версий заключается в способе рандомизации. Рандомизация выводится не на этапе вычисления субградиента функции, как это повсеместно принято, а на этапе проектирования на единичный симплекс. В результате получается покомпонентный субградиентный спуск со случайным выбором компоненты, допускающий онлайн интерпретацию. Это наблюдение, например, позволило единообразно проинтерпретировать результаты о взвешивании экспертных решений и предложить наиболее эффективный способ поиска равновесия в антагонистической матричной игре с разреженной матрицей. Библ. 34.

ГАСНИКОВ А.В., ДМИТРИЕВ Д.Ю. — 2015 г.

В работе рассматриваются два рандомизированных способа поиска вектора PageRank, т.е. решения системы pт = pтP, со стохастической матрицей P размера n ? n (решение ищется в классе распределений вероятностей), где n 107 109, с точностью : n-1, таким образом исключается возможность “честного” умножения матрицы P на столбец, если рассматривать не разреженные объекты. Первый способ базируется на идее Markov chain Monte Carlo. Этот подход эффективен в случае “быстрого” выхода итерационного процесса p = p P на стационар, и учитывает также другую специфику матрицы P – равенство отличных от нуля вне диагональных элементов матрицы P по строчкам (это используется при организации случайного блуждания по графу с матрицей P). На основе современных неравенств концентрации меры в работе приводятся новые оценки времени работы такого метода, учитывающие специфику матрицы P. В основе второго способа лежит идея сведения поиска ранжирующего вектора к поиску равновесия в антагонистической матричной игре: где Sn(1) – единичный симплекс в n, а I – единичная матрица. Возникшая задача решается с помощью небольшой модификации алгоритма Григориадиса–Хачияна (1995). Этот метод, также как метод Назина–Поляка (2009), является рандомизированным вариантом метода зеркального спуска А.С. Немировского. Отличие заключается в том, что у Григориадиса–Хачияна рандомизация осуществляется на этапе проектирования на симплекс, а не на этапе вычисления стохастического градиента. Для разреженных матриц P предложенный нами метод показывает заметно лучшие результаты. Библ. 67.

ГАЛАНИН М.П., ЛУКИН В.В. — 2015 г.

Приведен обзор методик обеспечения выполнения условия бездивергентности магнитного поля при численном решении двумерных задач магнитной гидродинамики на треугольных сетках с помощью разрывного метода Галеркина второго порядка. Описаны процедуры перераспределения численных потоков, соответствующих магнитному полю, в полном двумерном случае в декартовых координатах и двумерном осесимметричном случае в цилиндрических координатах, позволяющие подавить рост численной дивергенции магнитного поля. Рассмотрены тестовые задачи о вихре Орзага–Танга и о сферическом взрыве. Библ. 19. Фиг. 5.

ЧЕРНЯЕВ Ю.А. — 2015 г.

Рассматривается обобщение метода проекции градиента и метода Ньютона на случай невыпуклых множеств ограничений, представленных гладкой поверхностью. Исследуются необходимые условия экстремума и вопросы сходимости рассматриваемых методов. Библ. 20.

КУДИНОВ В.А., КУДИНОВ И.В., СКВОРЦОВА М.П. — 2015 г.

Приведены основные положения метода получения приближенных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Использование асимметричной единичной функции позволило представить исходную многослойную систему в виде однослойной с кусочно-однородными свойствами среды. Благодаря разделению процесса теплопроводности на две стадии по времени исходное дифференциальное уравнение в частных производных сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения применительно к каждой стадии процесса, что позволяет получать достаточно простые по форме аналитические решения с точностью, зависящей от числа принятых дополнительных граничных условий (числа приближений). Показано, что с увеличением числа приближений относительно неизвестных функций времени как в первой, так и во второй стадиях процесса получаются однотипные обыкновенные дифференциальные уравнения и в связи с этим имеется возможность нахождения аналитических решений практически с заданной степенью точности, включая малые и сверхмалые значения временнoй переменной. Библ. 11. Фиг. 4.

БУХАРОВА Т.И., КАМЫНИН В.Л. — 2015 г.

Изучается обратная задача восстановления коэффициента поглощения из L2 в многомерном уравнении теплопроводности при некотором дополнительном условии интегрального наблюдения. При этом предполагается принадлежность младших коэффициентов уравнения пространству Лебега. Установлены достаточные условия существования, единственности и устойчивости к возмущению входных данных решения обратной задачи. Эти условия сформулированы в виде легко проверяемых неравенств. Библ. 13.

АЛЕКСАНДРОВ В.М. — 2015 г.

Для линейных систем с интервальными ограничениями предложен метод вычисления оптимального по быстродействию управления. Метод основан на преобразовании квазиоптимального управления. Рассмотрены свойства и особенности квазиоптимального управления. Дан способ деления области начальных условий на области достижимости за различные времена и аппроксимации каждой области семейством гиперплоскостей. Разработан итерационный метод вычисления оптимального управления с интервальными ограничениями. Доказана сходимость метода и получено достаточное условие сходимости вычислительного процесса. Найден радиус локальной сходимости с квадратичной скоростью сходимости. Приведены результаты моделирования и численных расчетов. Библ. 17. Фиг. 3. Табл. 2.

ХАЧАТУРОВ Р.В. — 2015 г.

Описаны основные свойства нового типа решеток – решетки кубов. Показано, что множество всех субкубов N-мерного куба при соответствующем выборе для них операций объединения и пересечения образует решетку, названную решеткой кубов. Описываются алгоритмы построения таких решеток, иллюстрируются результаты работы этих алгоритмов для различных размерностей решеток. Доказано, что решетка кубов является решеткой с дополнениями, что позволяет решать на ней задачи минимизации и максимизации супермодулярных функций. Приводятся некоторые примеры таких функций. Показана возможность применения ранее разработанных эффективных алгоритмов оптимизации, постановки и решения новых классов задач на решетках кубов. Библ. 8. Фиг. 12.

ШУМИЛОВА В.В. — 2015 г.

Рассматривается задача об отражении плоской звуковой волны, нормально падающей на плоскую границу слоистой гетерогенной среды. Данная гетерогенная среда состоит из периодически повторяющихся слоев изотропных упругого и вязкоупругого материалов, причем все слои считаются либо параллельными, либо перпендикулярными фронту волны. Кроме того, предполагается, что толщина каждого отдельного упругого или вязкоупругого слоя намного меньше длины звуковой волны. Для исследования поставленной задачи используется усредненная модель слоистой гетерогенной среды, с помощью которой находятся частотные зависимости комплексных амплитуд отраженной и прошедшей волн. Библ. 23. Фиг. 4.

АНТОНОВА А.О., САВЁЛОВА Т.И. — 2015 г.

Предлагается двумерная математическая модель поликристаллического образца и эксперимента, получаемого методами электронной микроскопии, для различных параметров измерений: шага сканирования и порогового угла разориентации. Результаты эксперимента используются для сравнения характеристик текстуры образца и измерений: распределение зерен по размерам, средний размер зерна, дисперсия; распределение по углам разориентации, средний угол разориентации, дисперсия; функции распределения ориентаций в трехмерном виде и в однопараметрическом представлении. Проверка соответствий всех перечисленных распределений осуществляется с помощью критерия однородности 2. Наиболее важные аспекты эксперимента сформулированы в виде утверждений. Библ. 25. Фиг. 5. Табл. 9.

МЫШЕЦКАЯ Е.Е., ТИШКИН В.Ф. — 2015 г.

Предлагаются оценки для разности решений уравнения теплопроводности и его гиперболизированной версии. Оценки получены в норме L2 для уравнения анизотропной теплопроводности и в норме C для одномерного случая и постоянных коэффициентов. Библ. 14. Фиг. 1.

КЕРИМОВ М.К. — 2015 г.

КЕРИМОВ М.К. — 2015 г.

Кратко рассказывается о жизни и научной деятельности видного ученого-математика Наталии Александровны Меллер (1925–2014) – специалиста по вычислительной математике, математической физике. Приводится фото и список избранных научных трудов ученого.

КЕРИМОВ М.К. — 2015 г.

АЙЗИКОВИЧ А.А., ДЕРР В.Я., КЕРИМОВ М.К. — 2015 г.

ГОРОБЕЦ А.В. — 2015 г.

Представлена технология параллельных вычислений для моделирования задач газовой динамики конечно-объемными и конечно-разностными методами повышенной точности. Рассматривается разработка алгоритма, проектирование программной реализации, создание параллельных программ для расчетов на крупных вычислительных системах. Представленная технология параллельных вычислений основывается на многоуровневой параллельной модели, сочетающей различные типы параллелизма: с общей и распределенной памятью, с множественными и одиночными потоками команд на множественные потоки данных. Библ. 29. Фиг. 4.

КРАСНОВ М.М. — 2015 г.

Рассматривается параллельный алгоритм вычисления точек гиперплоскости фронта вычислений. Такая необходимость возникает при вычислении значений некоторой величины, определенной на многомерной прямоугольной области. Обычно речь идет о трехмерных областях, но материал изложен в общем виде, когда число измерений не меньше двух. Часто величина не имеет внутренних зависимостей между точками области, в этом случае вычисления в разных точках области производятся независимо, и их можно производить параллельно. Однако иногда внутренние зависимости имеются (например в методе Гаусса–Зейделя решения системы линейных уравнений), в этом случае последовательность обхода точек области важна. Общепринятый подход в этом случае состоит в формировании некоторой гиперплоскости (в трехмерном случае – обычной плоскости, в двумерном случае – прямой) фронта вычислений, которая линейно движется по области под некоторым углом. На каждом шаге движения этой гиперплоскости точки ее пересечения с областью можно обрабатывать независимо, и, следовательно, параллельно, но сами шаги движения гиперплоскости выполняются последовательно. Область пересечения гиперплоскости со всей областью на разных шагах движения гиперплоскости может представлять собой весьма сложную фигуру, а поиск всех точек области, лежащих на гиперплоскости на данном шаге, – нетривиальную задачу. Именно решению этой задачи (вычислению координат точек области, лежащих на пересечении с гиперплоскостью на данном шаге движения этой гиперплоскости) посвящена данная статья. При этом само вычисление можно производить параллельно по точкам гиперплоскости. Библ. 14.

ВАРИН В.П. — 2015 г.

Рассматриваются полиномиальные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) вблизи вырожденной особой точки. Изучаются семейства решений таких ОДУ, экспоненциально близких решению, представленному формальным степенным рядом. Показано, что для систем таких уравнений на плоскости все решения этого семейства однозначно определяются в виде ряда из плоских функций. В настоящее время такие (плоские) разложения мало изучены. Степенные ряды, входящие в плоские разложения, могут как сходиться, так и расходиться. Приводятся примеры вычисления плоских разложений и рассматриваются их приложения. Вычислено плоское разложение решения проблемы Блазиуса вблизи бесконечности и показано, что это асимптотическое разложение сращивается со степенным разложением Блазиуса вблизи нуля. Библ. 15. Фиг. 2.

ЗОЛОТАРЁВА Н.Д., НИКОЛАЕВ Е.С. — 2015 г.

Для нахождения с высокой точностью приближенного решения краевой задачи для стационарного уравнения реакции-диффузии построен адаптивный вариант hp-версии метода конечных элементов, использующий конечно-полиномиальные базисные функции. Предложены адаптивные стратегии построения последовательности конечномерных подпространств, основанные на использовании индикаторов коррекции – величин, оценивающих степень изменения выбранной характеристики приближенного решения при расширении подпространства путем пробного добавления новых базисных функций. Приведены эффективные алгоритмы вычисления индикаторов коррекции. Метод ориентирован на задачи, решения которых имеют ту или иную локальную особенность, например сингулярно возмущенные краевые задачи. Библ. 17.

АСФАНДИЯРОВ Д.Г., ГОЛОВИЗНИН В.М., ФИНОГЕНОВ С.А. — 2015 г.

Для исследования пристенной турбулентности в плоском канале при больших числах Рейнольдса методом прямого численного моделирования предложен новый вычислительный алгоритм на основе явной аппроксимации конвективных потоков по схеме КАБАРЕ и решении двух сеточных уравнений эллиптического типа для обеспечения условия несжимаемости. Для решения этих уравнений большой размерности предлагается использовать быстрый прямой метод, допускающий эффективное распараллеливание. В отличие от большинства методов, в том числе и спектральных, в схеме КАБАРЕ отсутствуют какие-либо настроечные параметры. Схема имеет компактный шаблон, что упрощает задачу граничных условий и повышает эффективность распараллеливания при расчете на многопроцессорных вычислительных комплексах. Представлены результаты расчетов в широком диапазоне чисел Рейнольдса и приведено их сравнение с результатами экспериментов и расчетами других авторов. Исследована зависимость ошибки в определении коэффициента сопротивления турбулентного потока от характеристик расчетной сетки. Библ. 40. Фиг. 7. Табл. 2.