научный журнал по математике Прикладная математика и механика ISSN: 0032-8235

ГАВРИКОВ А.А. — 2013 г.

Исследуются малые колебания эмульсии двух слабовязких сжимаемых жидкостей во внешнем звуковом поле, структура смеси считается периоди" ческой с достаточно малым размером ячейки. Методом двухмасштабной сходимости выводятся интегро"дифференциальное акустическое уравнение, выражение для средней скорости и доказывается сильная сходимость к нулю в L 2 по малому параметру разности скоростей и разности градиентов скоростей допредельной и предельной задач (исходной и усредненной). Методом конечных объемов вычисляются в плоском случае элементы динамической “матрицы фильтрации” – ядра свертки акустического уравнения.

АВРЕЙЦЕВИЧ Я., МЛЫНАРСКА С., ЯКУШЕВИЧ Л.В. — 2013 г.

Рассматривается задача о нелинейных колебаниях азотистых оснований ДНК, образующих пары: аденин—тимин или гуанин—цитозин. Применяется подход, в котором эту биофизическую задачу можно свести к механической задаче о нелинейных колебаниях двух связанных неодинаковых маятников, колеблющихся в плоскости, ортогональной главной оси молекулы. Проведен анализ динамики такой модельной системы. Найдены особые точки в фазовом пространстве. Рассчитаны собственные значения матрицы Якоби. Дано описание поведения модельной системы вблизи особых точек. Результаты проиллюстрированы в виде графиков решений соответствующих модельных уравнений и графиков траекторий движения в конфигурационном пространстве.

КОЗЛОВ В.В. — 2013 г.

Установлена общая теорема о поведении угловых переменных интегрируемых динамических систем как функций времени. В качестве примеров рассмотрены задачи о движении линии узлов волчка Ковалевской и о пространственном движении твердого тела в жидкости в интегрируемых случаях. Этот круг вопросов обсуждается для систем более общего вида, которые получаются из вполне интегрируемых систем после замены времени.

АМЕЛЬКИН Н.И. — 2013 г.

Для спутника, несущего произвольное число трехстепенных силовых гироскопов, определено все множество положений равновесия в центральном гравитационном поле на круговой орбите и проведен детальный анализ их вековой устойчивости. Исследованы асимптотические свойства движений спутника при наличии диссипации в осях рамок гироскопов.

АРТАМОНОВА Е.А., ПОЖАРСКИЙ Д.А. — 2013 г.

При использовании асимптотических методов, развитых В.М. Александровым с соавторами, исследуются пространственные задачи о полосовом разрезе в трансверсально изотропном упругом пространстве, когда плоскости изотропии перпендикулярны плоскости разреза. Рассмотрены два случая расположения полосового разреза: вдоль первой (задача А) или второй (задача Б) оси декартовой системы координат. В предположении, что нормальная нагрузка, приложенная к берегам разреза (трещине нормального отрыва), представима рядом Фурье, получены одномерные интегральные уравнения задач А и Б, символы ядер которых не зависят от номера члена ряда Фурье. При специальной аппроксимации символа ядра выводится замкнутое решение задачи. Для решения интегральных уравнений также использованы регулярный и сингулярный асимптотические методы с введением безразмерного геометрического параметра, характеризующего отношение величины периода приложенной волнистой нормальной нагрузки к толщине полосы разреза. С использованием трех указанных способов решения интегральных уравнений сделаны расчеты коэффициента интенсивности нормальных напряжений на границе полосы.

СЕРГЕЕВ В.С. — 2013 г.

Рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерры и их решения, которые при неограниченном возрастании времени экспоненциально стремятся к периодическим режимам. В критическом случае устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней и остальные корни обладают отрицательными вещественными частями, решается вопрос о существовании предельно периодических решений при резонансе, вызванном совпадением частоты периодической части внешнего предельно периодического возмущения с собственной частотой линеаризованной системы. Показывается, что если правая часть уравнения – аналитическая функция и существование предельно периодических решений определяется членами (2m+ 1) го порядка, то эти решения представляются степенными рядами по произвольным начальным значениям некритических переменных и параметру µ 1/(2m +1), где µ – малый параметр, характеризующий величину внешнего предельно периодического возмущения. Приведены амплитудные уравнения.

МАРКЕЕВ А.П. — 2013 г.

Исследуется динамика сложной системы, состоящей из твердого тела и материальной точки, которая движется по заданному закону вдоль кривой, жестко скрепленной с телом. Система совершает свободное движение в однородном поле тяжести. Выведены дифференциальные уравнения, описывающие вращение тела относительно его центра масс. В двух частных случаях, допускающих введение малого параметра, при помощи асимптотических методов получена приближенная система уравнений движения. Указана точность, с которой решения приближенной системы аппроксимируют решения точных уравнений движения. В одном случае предполагается, что материальная точка имеет массу, малую по сравнению с массой тела, и совершает быстрое движение относительно тела. Показано, что в этом случае приближенная система интегрируема. Указан ряд частных движений тела, описываемого приближенной системой, и исследована их устойчивость. Во втором случае на массу материальной точки не накладывается ограничений, но предполагается, что относительное движение точки быстрое и происходит вблизи заданной точки тела. Показано, что в приближенной системе движение твердого тела относительно его центра масс является движением Эйлера – Пуансо.

БЕРЕСЛАВСКИЙ Э.Н. — 2013 г.

В рамках теории плоской установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси рассматриваются некоторые схемы фильтраци! онных течений из каналов и оросителей ирригационных систем через поч! венный слой, подстилаемый хорошо проницаемым напорным водоносным горизонтом или непроницаемым основанием. Для их исследования форму! лируются смешанные краевые многопараметрические задачи теории ана! литических функций, которые решаются с помощью метода П.Я. Полуба! риновой!Кочиной и интегрирования дифференциальных уравнений клас! са Фукса, характерных для задач подземной гидромеханики. На базе этих моделей разработаны алгоритмы расчета размеров зоны насыщения в слу! чаях, когда при фильтрации воды из каналов или оросителей приходится оценивать совместное влияние на картину движения таких важных факто! ров как подпор со стороны нижележащего напорного водоносного гори! зонта или водоупора, капиллярность грунта и испарение со свободной по! верхности грунтовых вод. Результаты расчетов для всех схем течения сопо! ставляются при одинаковых фильтрационных характеристиках.

ВЛАХОВА А.В. — 2013 г.

Изучаются возможности реализации связей при движении систем, содержащих кинематические пары с малыми относительными проскальзываниями. Показано, что предельный переход к бесконечной жесткости контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может привести как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам с первичными связями Дирака. Многообразие, определяемое этими неклассическими связями, в общем случае не близко к многообразию, задаваемому условиями непроскальзывания. Ситуации, когда реализуются те или иные связи, разделяются после рассмотрения порядков величин слагаемых в правых и левых частях соотношений между скоростями проскальзывания и обобщенными скоростями.

АНДРЕЕВ В.К., БЕКЕЖАНОВА В.Б. — 2013 г.

В рамках приближения Обербека–Буссинеска построено точное решение уравнений свободной конвекции, описывающее течение вязкой теплопроводной жидкости в вертикальном цилиндре большого радиуса при радиационном нагреве. Исходная задача сведена к операторному уравнению с сильно нелинейным оператором, удовлетворяющим теореме Шаудера в С[0, 1]. Для определения независимого параметра, входящего в решение, предложена итерационная процедура, позволяющая найти три различных значения и, соответственно, три класса решений исходной задачи. Изучена линейная устойчивость всех полученных решений и показано, что при выбранных значениях параметров задачи наиболее опасной является плоская волновая мода и присутствуют два механизма неустойчивости. При этом структура течения и тип неустойчивости существенно зависят от значений свободного параметра.

СТЕПАНОВА И.В. — 2013 г.

Рассматривается модель термодиффузионной конвекции бинарной смеси при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации. Построено и исследовано инвариантное решение, описывающее стационарное течение смеси в плоском вертикальном слое. Изучено влияние нелинейности силы плавучести на режим течения.

МАКСИМОВ В.И. — 2013 г.

Обсуждается задача динамического восстановления неизвестных управлений, действующих на нелинейное векторное дифференциальное уравнение. Указывается два регуляризирующих алгоритма, позволяющих синхронно с развитием рассматриваемых процессов осуществлять восстановление этих управлений в равномерной метрике. Алгоритмы устойчивы к информационным помехам и погрешностям вычислений.

МАЗНЕВ А.В. — 2013 г.

Рассматривается движение динамически симметричного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил с переменным гиростатическим моментом, описываемое обобщенными уравнениями класса Кирхгофа–Пуассона. Получены условия существования трех линейных инвариантных соотношений специального вида и построены новые решения уравнений движения, которые выражаются либо в виде элементарных функций, либо в виде эллиптических функций времени.

БОЙКО А.В., КУЛИК В.М. — 2013 г.

В рамках двумерной модели деформирования рассматривается задача о вынужденных колебаниях цилиндра, закрепленного на вибрирующем ос- новании и нагруженного сверху некоторой массой. Граничные условия за- даются на всей поверхности цилиндра, и используется уравнение баланса сил на его внешней грани. Предлагается алгоритм решения с использова- нием метода коллокаций. Показано, что точность определения модуля упругости и коэффициента потерь значительно выше, чем при использова- нии методов, основанных на одномерной модели, поскольку предлагаемая методика не требует знания динамического форм-фактора.

КУЛИКОВСКИЙ А.Г., ЧУГАЙНОВА А.П. — 2013 г.

Изучаются волны Римана (простые волны) в рамках модели упругопластичности Мизеса с упрочнением. Предполагается, что предшествующими процессами среда приведена в состояние, соответствующее некоторой точке на поверхности нагружения. Указываются условия, при которых волна Римана в процессе эволюции опрокидывается, т.е. условия образования разрывов.

ГОМОЮНОВ М.И. — 2013 г.

Для линейной динамической системы, подверженной воздействиям помех и содержащей запаздывание в органе управления, рассматривается задача об управлении по принципу обратной связи при показателе качества – евклидовой норме совокупности отклонений траектории движения системы в заданные моменты времени от начала координат. Дается процедура для вычисления величины оптимального гарантированного результата, основанная на рекуррентном построении выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций. Указывается способ формирования управляющих воздействий, гарантирующих достижение этого результата.

ЖУРАВЛЁВ С.Г., ПЕРЕПЕЛКИНА Ю.В. — 2013 г.

Исследуется устойчивость в строгом нелинейном смысле тривиального положения относительного равновесия в классическом и в обобщенных вариантах задачи Ситникова в случае малых эксцентриситетов орбит тел конечных размеров. В классическом варианте задачи (n = 2) доказано отсутствие резонансов второго, третьего и четвертого порядков, а также случая вырождения. В обобщенных вариантах (2 < n ≤ 5 ⋅ 10 5) доказано отсутствие резонансов второго и третьего порядков, а также случая вырождения. Резонанс четвертого порядка имеет место в вариантах задачи, в которых число тел конечных размеров удовлетворяет неравенству 45000 ≤≤62597, n при этом эксцентриситет орбит e < 0.25. Применение теорем Арнольда– Мозера и А.П. Маркеева позволило установить устойчивость по Ляпунову тривиальных положений относительного равновесия в упомянутых вариантах задачи Ситникова.

БАРДИН Б.С., САВИН А.А. — 2013 г.

Выполнен строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений (маятниковых колебаний и вращений) динамически симметричного тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Предполагается, что главные моменты инерции твердого тела, вычисленные для неподвижной точки, связаны тем же равенством, что и в случае Ковалевской, но при этом не накладывается никаких ограничений на положение центра масс тела. В случае колебаний с малыми амплитудами и в случае вращений с большими угловыми скоростями, когда удается ввести малый параметр, исследование орбитальной устойчивости выполнено аналитически. При произвольных значениях параметров нелинейная задача об орбитальной устойчивости сведена к анализу устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, генерируемого системой уравнений возмущенного движения. Коэффициенты симплектического отображения вычислялись численно, и по их значениям на основании известных критериев были сделаны выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости исследуемого периодического движения. Показано, что когда центр масс лежит на оси динамической симметрии (случай интегрируемости Лагранжа) известные критерии устойчивости неприменимы. В этом случае на основании теоремы Четаева доказана орбитальная неустойчивость периодических движений. Результаты проведенного анализа представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров задачи.

БИБИКОВ Ю.Н. — 2013 г.

Рассматривается вопрос об устойчивости положения равновесия в начале координат гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с гамильтонианом, невозмущенная часть которого порождает осцилляторы с кубической восстанавливающей силой. Доказано, что положение равновесия условно устойчиво по Ляпунову для начальных значений, не принадлежащих некоторой поверхности уровня гамильтониана. Редукция системы на эту поверхность показывает, что в случае общего положения имеет место и безусловная устойчивость по Ляпунову.

ДОРОГОВ Ю.И. — 2013 г.

Исследуется устойчивость незакрепленной стойки, состоящей из упругого стержня с жесткими полками на концах, под действием продольного сжатия. Найдена нагрузка, при которой плоскость поверхности полок отклоняется от плоскости поверхности опор. Это отклонение сопровождается значительным поворотом (выворачиванием) полок и соответствующим изгибом оси стержня. Происходит резкая смена прямолинейной или изогнутой формы равновесия на несмежную с ней форму равновесия. Установлено, что стойки, в зависимости от отношения длины стержня к длине полок, ведут себя по-разному при такой смене форм равновесия.